Quadraturen — Zurückf. auf. 477 Quadraturen — Zurückf. auf.
Fall, wenn der Differenzialquotient des
w
Gliedes links 1 gleich Null wird, d. h.
r
wenn w — r ist. Sucht man den ent
sprechenden Werth R von x, so hat
man:
wenn man a: = 0 setzt; also umsomehr:
d. h.
oder;
f“-*« 1 * H 1 )’
=Lr^),
R = \1— e s /Q,
ein Ausdruck, der stets kleiner als q ist.
Ist A der grösste Modul, den w inner
halb des Kreises mit Radius R annimmt,
so hat man:
d n w A
— <1.2...« —,
dx n R n
modf^ B <1.2
dx n
A
R n
Daraus folgt dann, dass die Reihe,
welche der Maclaurinsche Satz ergibt:
S) '=(=)/+(s0.5Ti+---
für alle Werthe von x, deren Modul
kleiner als R ist, convergirt. Denn es
ist der Modul des allgemeinen Gliedes
der Reihe offenbar kleiner als:
, /modx\n . , , . . „
A \~ß—j > ist also mod (#)</£, so ist
die Reihe der Moduln und folglich die
Reihe für v selbst convergent.
Die Function v, welche durch diese
Reihe definirt ist, genügt aber der vor
gelegten Differenzialgleichung 4), denn
man hat:
F(x, v) = F 0 +F 0 ' x+F 0 " ^ •
wenn man unter F', F" die totalen Differenzialquotienten von x unter F 0 , F 0 '...
die Anfangswerthe von F, F' . . . versteht. Die Differenzialquotienten ergeben
sich durch die Gleichungen:
10)
f _ dF oF dv _d*F o 2 F /du\ 2 dF d 2 v
F dx+ dv dx’ ~dxdv \dx) dxd.x 2
Ferner ist:
/dv\ {d 2 v\ /d 3 v\ x 2 ,
“ Wo + \d^)o X+ W/o 1 . 2 + * •
Man muss
die aus 5) gefundenen Werthe von ® eic ^ un S en
nan a; = 0, t>=0 gemacht hat. ]
chungen 5) und 10) identisch
F 1, F "=(—).
10) einsetzen, nachdem man x — 0, v^=0 gemacht hat. Man sieht aber, dass die
Glieder rechts der Gleichungen 5) und 10) identisch sind, und man hat also
identisch:
so dass der Differenzialgleichung genügt
wird.
Es lässt sich nun leicht zeigen, wie
man durch Reihenentwicklung die Diffe
renzialgleichung
aufiösen kann, wenn der Integrationsweg
eine beliebige Linie ABC DE (Fig. 57)
bildet, auf welcher sich jedoch kein
Discontinuitäts- oder vielfacher Punkt
der Function f(z, u) befindet. Derglei
chen Punkte seien M, N. Ist nämlich
Fig. 57.
für Punkt A 2=z # , u — u 0 willkürlich
angenommen, so hat man nach dem
Maclaurin’schen Satze, wenn für Punkt
B z = z l , m=m, ist:
