Quadraturen — Zurückf. auf. 478 Quadraturen — Zurückf. auf. 
du n , 
M i=Mo + -3T £ ( z r 
_z 'o) + 
d 2 U 
(Zl“ z o) 5 + 
dz 0 v 1 °' 1 . 2 dz 0 
und die Differenzialquotienten geben die Gleichungen 5), wenn man darin wieder 
• r — z ~v = u—u 0 setzt, oder, was dasselbe ist, die Gleichungen: 
11) 
du _ d'*u_^df df du 
dz ’ dz 2 dz~^ du dz 
wo u— w 0 , z = z 0 zu setzen ist m = m 0 den Werth z = z 0 annimmt, so 
Es darf der Modul von B aber nicht lange f(ii, 2) eindeutig und continuirlich 
bleibt. 
Sei nämlich u-\-v eine zweite Function, 
so muss sein: 
grösser sein als: 
R: 
r 
2Wq 
L 
wo r und q bezüglich die grössten Mo 
duln von z—z 0 , u—u 0 sind, für welche 
f[z, u) continuirlich und eindeutig bleibt, 
M der grösste Modul von F (z, u) zwi 
schen A und B. Man kann aber, wie 
weit auch der Endpunkt unseres Inte 
grationsweges E von A entfernt sei, 
durch Wiederholung dieses Verfahrens 
immer zum Ziele gelangen. Zu dem 
Ende schlage man von B aus mit Ra 
dius BC einen Kreis, derart, dass 
s.(i-. 2j “vL 
wo r’, q' die grössten Moduln sind, für 
welche 2—2,, u—u l continuirlich und 
eindeutig bleiben, M' der grösste Modul 
von f(z, u) zwischen B und C ist. 
Man hat dann, wenn man für Punkt 
C z ~ 2 a , u — u 3 setzt: 
du, . 
Mj-Mj-k—(z a —2,) 
+ 
1 d*u, 
1.2 da l a 
2 t , sind hier die Anfangswerthe, 
welche durch die vorige Reihenentwick 
lung gegeben sind. Es ist klar, dass 
man auf dieselbe Weise von C zu einem 
hinreichend nahe gelegenen Punkt D nnd 
so zuletzt zu E derart gelangen kann, 
dass man das Ziel immer durch eine 
endliche Menge von Entwickelungen 
nach ganzen positiven Potenzen bezüg 
lich der Grössen 2—z 0 , 2—2,, 
erreicht. Bemerkenswerth ist es, dass 
man im Allgemeinen besser thnt, die 
Reihenentwickelungen nicht nach dem 
Maclaurinschen Satze, sondern direct 
nach der Methode der unbestimmten 
Coefficienten vorzunehmen. Wir werden 
später Beispiele geben. 
Es lässt sich aber auch zeigen, dass 
es ausser der so gefundenen keine zweite 
Function u gibt, welche die Differenzial 
gleichung z) erfüllt, und für 
d(u+v) . 
dz =«*+'■ l> ’ 
also : 
= f(u+v, z)—f(u, 2). 
Da die rechte Seite dieser Gleichung für 
u = 0 verschwindet, so enthält sie, da f 
in den angegebenen Grenzen eindeutig 
ist, eine ganze Potenz von v als Factor, 
und es ist: 
dv m . , 
5?” »<•?■ 
und durch Integration auf einem belie 
bigen Wege erhält man: 
_1 / 1 1 \ _ /• 1 
i—l I m — 1 m— 1 / / 7'( 2 
\v a v / J * 
■)dz, 
wenn m grösser als 1 ist. 
Diese Gleichung ist unmöglich, da 
t» o = 0 ist, das bestimmte Integral aber 
einen endlichen Werth haben muss. 
Ist m = 1, so hat man: 
— = 7' (*) dz, 
f <f ( 2 ) di 
und da u o =0, ist auch u = 0. 
27) In tegr ati 0 n v on n Gl eichun- 
gen mit n-kl Variablen durch 
R'eih e n. 
Die eben gegebenen Principien er 
strecken sich auf den allgemeinsten Fall 
von n Gleichungen mit w+1 Variablen. 
Wir setzen wieder: 
„„ du 
« *=«».<•. 
■). 
du i 
•) 
Wie oben kann man die Behandlung 
auf den Fall zurückführen, wo die An 
fangswerthe der Variablen 2 = 0, m = 0,