Quadraturen — Zurückf. auf. 481 Quadraturen — Zurückf. auf. 
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Gleich Null kann m nicht sein, weil 
dann für 2 = 0 y (m, 2) nicht gleich Null 
wäre. 
Setzt man in y (u, z) den eben ge 
fundenen Werth von 2 ein, so kommt: 
y. (m, 2) = au vl -\-bA 0 u n -\- . . . 
und, indem man den Werth von z diffe- 
renziirt; 
dz . Ci I . . . Ci 
— =A 0 c<u -M,(*+!)« . 
Dieser Ausdruck mit y (m, 2) identificirt, 
gibt: 
A 0 « u u ' + A j (c< + 1) u c< — au n 
+bA 0 u , 
woraus folgt, dass a nicht gleich Null 
sein kann, weil sonst A 0 oder n gleich 
Null wären. Das letztere widerspricht 
der Annahme, das ersterc dem Umstande, 
dass u a die erste wirklich vorkommende 
Potenz von u war. In diesem Falle gibt 
es also kein mit z verschwindendes In 
tegral. 
Es muss also sein: 
a—l = m, A 0 ct = a, 
d. h.: 
cc = m+l, A 0 = 
m-f-1’ 
und man hat: 
a m 4-1 
2 = — U + . . . 
m + 1 
Ist 2 sehr klein, so kann man also 
setzen: 
T> wt+ 1 . 
•, — B 0 z * + • • 
1 
m + 1 
ist. Es gibt also m+1 Werthe von u 
für jeden Werth von z. 
Setzt man noch z — re'l 1 U nd seien u 0 , 
m 1 ... u m die zugehörigen Werthe von 
m, so ist: 
1 (fl 
r, m + 1 «i + i 
u l = B 0 r ' e r , 
1 y> + 2n. 
■ ■ ■ 1» 
d w + 1 „ m+1 
u l = B 0 r 1 e 
1 (f 4- hn . 
«, = J3j n ~+~'e m+X 1 
1 cfAr'lmn . 
u = B 0 r m+ 1 e m+i 
m 0 
Während also der z entsprechende Punkt 
einen unendlich kleinen Kreis um den 
Punkt 2=0 beschreibt, geht u 0 in w lt 
Mj in u z . . . u , in u , und m 
m— I m’ m 
wieder in u 0 über. Wenn also der Dif 
ferenzialquotient für 2=Zj, u — u x un 
endlich wird, und m die Ordnung des 
niedrigsten partiellen Differenzialquotien 
ten von — nach u ist, welcher nicht 
verschwindet, so hat die Grösse m+1 
verschiedene Werthe, von denen jeder 
in den folgenden übergeht, während z 
um den Punkt z 0 einen Kreis beschreibt. 
Nach »i+l Umläufen kehrt u zu seinem 
alten Werthe zurück. 
Setzen wir jetzt: 
»«+ I 
2=2! ~ . 
Während 2 t einen Umlauf macht, macht 
2 deren m+1; denn setzt man z l = pe^*, 
so ist: 
z = Q m+i e ( w+1 ) W =Re H , 
denn wird 0- um 2n vermehrt, so ver 
mehrt sich r um 2(»i-pi)n, es macht 
also u einen Umlauf. Hieraus folgt: 
„dass u eine eindeutige Function von 
2! ist“ und sich folglich in eine conver- 
girende Eeihe nach ganzen Potenzen von 
l 
m 4-1 
r— ft. • 
entwickeln lässt. Man hat 
also; 
B. 
z m+ * +ßi5i ^+l + . 
Dies gibt m+l verschiedene Werthe 
—-— m-\-1 
von m, da 2! Mi+ 1 = y^2! eben so viel 
Werthe hat. 
29) Keihe nen t wieklu nge n für 
verschiedene Integrale von Dif 
ferenzialgleichungen. 
Sei gegeben die Gleichung: 
=o.