Quadraturen — Zurückf. auf. 490 Quadraturen — Zuriickf. auf. 
2p—2- m, 
und durch x n dividirtj so hat man; 
d 2 u , m 1 die 
dz* ' m+ 2 z dz 
oder, wenn man setzt: 
"'-+ 1 
-u = 0. 
Diese Gleichung aber stimmt völlig mit 
der in V) behandelten überein, wenn 
man darin setzt: 
, m 4-2 
für m und —1 für n, 
T m 
ist ^ eme ne o a d ve oder positive 
grade Zahl, so wird also das Integral in 
geschlossener Form aufzufinden sein. 
Setzt man —-rvi = + 2i, so erhält 
m + 2 
oder 
+ 4i 
+2i—1’ 
4 i 
~ ~2iTl‘ 
Wir haben schon früher direct gezeigt, 
dass in diesen Fällen sich ein Integral 
der Riccatischen Gleichung finden lasse. 
Auf die in V) behandelte Gleichung 
lassen sich übrigens noch die folgenden 
zurückführen: 
: b e‘ 
px 
Setzt man hierin : 
1 du 
y au dx’ 
so kommt; 
d 2 u 
—— — abue 
dx 
px 
und wenn man: 
2yab 2 PX _ 
setzt: 
■ + 1> 
A k 
m = 0, 
d 2 u 1 du 
+ u = 0. 
dx 2 z dz 
Sei ferner gegeben: 
=a 
dx 4 T V x 2 / J 
Wir setzen; 
n+ I 
y = x ^ z, 
und erhalten: 
d 2 z 2{n+l)dz 
dx 2 
+ 
x dx 
+p 2 z = 0. 
30) In te gr a t io n v o n Differen 
zialgleichungendur ch bestimmte 
Inte grale. 
Da viele Reihen durch bestimmte In 
tegrale summirt werden könneu, so ist 
es oft möglich, auch Integralen von Dif 
ferenzialgleichungen die Form bestimm 
ter Integrale zu geben. Man kann auch 
in manchen Fällen sich directer Metho 
den bedienen. Indessen sind hierbei 
mancherlei Yorsichtsmaassregeln nöthig. 
Zunächst muss klar sein, ob immer oder 
in welchen Grenzen das bestimmte In 
tegral einen Werth habe. Es kann fer 
ner das Resultat illusorisch Averden, wenn 
die Function unter dem Integralzeichen 
für einen bestimmten Werth disconti- 
nuirlich Avird, ein Umstand, der mit der 
AusAvahl der AnfangsAvcrthe, d. h. der 
Integrationsconstanten, in enger Verbin 
dung steht. Entsteht das bestimmte In 
tegral durch Summirung einer Reihe, so 
ist ferner festzustellen, ob cs so lange 
gelte, als die Reihe convergirt, da es 
Vorkommen kann, dass in gewissen 
Grenzen die Summe dieser Reihe eine 
ganz andere Form hat als in andern. 
Umgekehrt kann auch das bestimmte 
Integral Aveitere Grenzen haben als die 
Summe. Kurz, im Allgemeinen gehört 
die Zurückführung des Integrals einer 
Differenzialgleichung auf irgend eine 
Form, oder eine Reihe von Formen, die 
in allen Grenzen ein Resultat geben, zu 
den schwierigsten Untersuchungen (wo 
bei auch die complexen Werthe der Va 
riablen zu berücksichtigen sind), wegen 
des Wechsels dieser Form bei Ueber- 
schreitung der Discontinuitäten und Mehr-