Quadraturen — Zurückf. auf. 491 Quadraturen — Zurückf. auf. 
>• - 
deutigkeiten. Als Muster der Behänd- den keinesweges die noch sehr naive 
lang eines solchen Problems kann die Weise hinreichend, in welcher man sich 
Abhandlung Ricmann’s (siehe die Ab- heut zu Tage in Wien mit diesem Pro 
handlungen der Göttinger Gesellschaft blem abfindet. 
der Wissenschaften) über diejenige li- Wir müssen uns hier mit einigen ein- 
neare Differenzialgleichung dienen, wel- fächeren Beispielen begnügen, 
eher die hypergeometrische Reihe ge- I) Wir wollen zunächst die in V) des 
nügt. Was speciell die Ausdrücke in vorigen Abschnitts betrachtete Gleichung 
der Form bestimmter Integrale anbe- wieder aufnehmen, 
trifft, so ist aus den angeführten Grün- Es ist: 
, . „ n 2 cos w 2 n* cos 
cos («cos «0=1 T — + T ^ ?7i - ■ ■ . 
Wir multipliciren mit sin <o m 1 dm, und integriren in den Grenzen o und n, was 
jedoch nur einen Werth gibt, wenn m positiv ist, da im entgegengesetzten Falle 
an den Grenzen die Function unendlich würde. Berücksichtigen wir ferner bei 
dieser Integration die Formel: 
/" 
o 
. „ , 1.3-5. . . (2*-l) 
sin io' dm = — 
(,«+2) (ti+4) . . . (,w + 2i) 
/ 71 
sin (0 f*da, 
i) 
wo fj. grösser als —1 zu nehmen ist. (Es folgt diese Eormel aus den in Abschnitt 
27) dos Artikels: „Analytische Quadratur“ gegebenen, durch fortgesetzte Wieder 
holung des Verfahrens.) Man erhält dann das Schlussresultat: 
/* 7X g. 7t . 
I / \ . m— 1 , / m— \ 
I cos («cos m) smw da) — I sin CO 
'0 f 0 
(-«'/> 
f/w- 
ni— 1 
dea 
d. h. wenn man «=x\n setzt; 
Tt 
j cos (x \n COS (0) sin (0 
(fr 
1-2-3.../J (m+1) (m+3) ... (m+2p-l) 
+ 
m— I 
cito ; 
s* 7t 
/ si 
0 
7ìl 1 » 
sm oj da) [1 - 
1 • (m + 1) 
+ 
v- • • • +1 
+ 
:+ • • •]• 
1 • 2 (m + 1) (m +3) 1 1 > 2 ... p (m + l).(m+3) . . . (m + 2^ — 1) 
Es ist dies aber offenbar die in V) des vorigen Abschnittes mit ij (x) bezeichnete 
r n n — t 
Reihe, multiplicirt mit / sin co hl dm. Da nuny = A(/ (x) eine willkürliche Con- 
-7 0 
stante enthält, so ist ein particuläres Integral der vorgelegten Gleichung: 
f n 
y= A l 
•' 0 
cos (x\n cos ai) sin (o m 'dm, 
jedoch nur dann, wenn m positiv ist. 
Die mit bezeichnete Reihe lässt sich auch unter der Form schreiben: 
nx 2 (nx 2 \2 
\p{x) = x 1 [1- 
1 • (—m + 3)~*~l * 2 (—m+3) (—m+5) ’ * * 
, (-fr 
' 1 *2..;;(—m + 3)(—m+5).. (—m+^p+l) - * - * * 
und man sieht hieraus leicht, dass sich der Ausdruck in den Klammern von der