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Quadratische Factoren. 
itische Factoren. 
Quadratische Factoren. 
iren werden mit einander 
2«xcosA + 
3/r+A 
2«+l 
2«—1 n-\-1 
• 2 — 2«;r cos 
2u+l 
+ a 
') 
! ) 
!£ = _i-V 
chaffen ist, dass dcrDif- 
davon unabhängig von 
unendlich kleinen Zu- 
Iso gleiches Resultat gibt, 
eiben als reell, rein ima- 
rplex betrachten. Man 
r Regel bei den Functio- 
dessen sind hier einige 
lothwendig, die man un- 
el Quantität (imaginäre) 
e. Unser Satz für ein 
ten lautet nun: 
ge Function f(x) von x 
ie Form bringen: 
S 
maginär sind, ganz, wie 
irde, zu 2en, in quadra- 
ordnen. 
3ise unseres Satzes sind 
;e nöthig, bei denen wir 
gen Rücksicht nehmen 
dem Artikel: imaginäre 
hzuschlagen sind, 
eindeutige Function von 
ns einmal unendlich für 
i Werth von x, der je- 
st unendlich gross sein 
ir setzen hierbei voraus, 
m nur dann discontinuir- 
a sie unendliche Werthe 
lässt sich dann f(x) für 
m x in eine conver- 
:h ganzen positiven Fo 
ntwickeln , deren Modul 
ler kleinste, für welchen 
dich zu sein. (Siehe den 
iten (imaginäre). Ange- 
) werde für keinen end 
lichen Werth von x unendlich, so muss diese Reihe also immer convergiren. 
Diese Reihe ist aber die Maclaurin’sche: 
l(x) = i (o) + xro+~ro+~~f"'o+ . . . +~f (n) 0+ . . ■ 
Nach einer von Cauchy herrührenden Entwickelung nimmt sie aber auch die Form 
an (siehe den oben angeführten Artikel): 
«-) --ä tW'V,■+. 
V • ’ . Re' 1 ' 1 . 
»2 nf(Re fl ) 
u e 
+x nf^(fRe^ v 
> 0 „* «**?'• / 
o R n e n, J 
wo R eine heliebigc reelle Grösse ist. ten Null und folglich, wie die Maclau- 
Aus der Vereinigung beider Gleichungen rin’sche Reihe zeigt: 
folgt: _ f(?) = n 0) 
^ d. h. gleich einer Constanten. 
f 0 — 1 • 2• 3 . . • n J o ‘ ~ M Satz II. Jede eindeutige Function 
R ß f /(x) wird wenigstens einmal gleich Null. 
Wird nun f(x) überhaupt nie unendlich, Beweis. Nach dem vorigen Satze 
so muss f(x) irgend einen Werth haben, 1 
dessen Modul der grösstmögliche M wird die eindeutige Function — einmal 
sei, und es ist dann offenbar der Modul glcich Q0> was voraussetz t, dass 
ffRß'J 1 ) /■(*•) = 0 
von ———/ kleiner als M oder hoch- geworden ist. Dieser Satz enthält die 
ß n, 1 l Verallgemeinerung des in 2 und 3 be 
stens gleich M, also auch der Modul wiesenen Satzes, dass jede algebraische 
^ ' mr -—’ ’ ’ - ’ 
2n f(Rß , * i )d r 
e n<ji 
1 j Md,,=2Mn, 
also wenn A der Modul von f^O ist, 
auch: 
A ^ 2Mn- 1-2-3 ...» 
R n 
Gleichung eine Wurzel habe, es gilt der 
selbe also auch für transcendente Glei 
chungen. 
Satz III, Wenn der Werth x~a die 
Gleichung 
f(*) = o 
erfüllt, wo f (x) wieder eine eindeutige 
Function ist, so ist auch allgemein 
f(x) = (x-u') n f l (x), 
, wo /’,(«) nicht gleich Null, n eine ganz 
Da man aber R beliebig gross machen 'n • f ’ ° 
, . . , , positive Zahl ist. 
kann, so muss A ms Unendliche abneh- r 
men, folglich Beweis. f(x)=f(a+x—a) lässt sich 
M _ f( für Werthe von x—a, deren Modul eine 
/ W — "• gewisse Grenze nicht überschreitet, nach 
Es wären also alle Differenzialquotien- dem Taylorschen Satze entwickeln. Also: 
/’(*)=/(«) + (»-«)r(«) + ~~ + ■.. +-.(;-?.)”/(”)(«)+ . . . 
1*2 !•2 . . . n 
Es ist aber /’(«) = 0. Ausserdem kann noch eine Anzahl der ersten Differenzial- 
(n) 
quotienten Null sein, wenn x~n wird. Sei nun f (n) der erste Differenzial 
quotient, der nicht verschwindet, so ist offenbar: 
fix) = j^)!_ (^\rA+ 3 L~ tt fi*+%)+ f^+ 2 \r,) 4- \ 
1-2... «V w+1 v (re-t-l) (n+2; / 
in) 
Der Ausdruck in der Klammer wird f («) für x = a geben, also nicht verschwin 
den: woraus unser Satz sogleich folgt.