Quadraturen — Zurückf. auf. 494 Quadraturen — Zurückf. auf. 
du 
dx 
+ 
wo u das gefundene particuläre Integral 
der Gleichung; 
d 2 u 
Ce Z +Ee~ Z 
u — , 
2 
In dem einzigen Falle , wo m ~ —2 
ist, werden beide particulären Integrale 
illusorisch. Es ergibt sich in diesem 
Falle direct: 
dx 2 
— Ax 
d 2 u 
dx 2 
Au 
ist. 
Für m — 0 hat man; 
d 2 u 
dz 2 ' 
-u — O, 
_ 2\A 
m + 2 
+1 
ganz wie im vorigen Abschnitte zu 
setzen ist. Das Integral ist: 
u~Ce Z + Ee~ Z . 
Ist wi= —4, so erhält man: 
d 2 u 2 du _ 
1 -—m = 0, 
dz, 2 z dz, 
und wenn man : 
eine Gleichung, die der in Abschnitt 2) 
II. behandelten Klasse angehören, und 
deren Integral ist: 
u~ Cx k '+Ex k2 , 
wo /»j und k 2 die Wurzeln der quadra 
tischen Gleichung: 
h 2 -k = A 
sind. 
II) Wir wollen aber auch auf directe 
Art die Gleichung: 
i!| + =i$ =c . 
dx mx dx J 
offenbar dieselbe, mit der wir uns eben 
beschäftigten, durch bestimmte Integrale 
auflösen, um eine Anwendung auch die 
ser Methode zu zeigen. Wir folgen 
hierbei dem Gange, welchen Lobatto 
(Crellc’s Journal, Bd. 17) einschlägt. 
Das Resultat, wie es schon gegeben 
worden ist, rührt von Kummer her. 
Setzen wir: 
setzt; 
also: 
d 2 v 
= 0 ' 
' pX Pdp 
wo P eine zu bestimmende Function von 
p ist, so erhält man: 
~P x d, 
Xil—Ce px Px dp — — e P j e 
| =-/ e-P*Ppdp, 
x^-lzz r e~P x Pp 2 xdp=-e~P x Pp 2 +re~P x d(Pp*), 
dx 2 t ß 
und wenn man dies in die gegebene Gleichung setzt: 
0 =e~P x P{c 2 -p 2 )+ y e~ px [d(Pp 2 )-c 2 dP- 
m— 1 
m 
Pp dp]. 
Setzt man den unter dem Integralzeichen erhaltenen Theil gleich 0, so kommt: 
(p* -c*) dP+^^Pp dp = 0, 
oder durch Integration: 
m+ I 
2 m 
P = (c 2 — p 2 ) 
Die Grenzen des für y gesetzten Integrals ergehen sich, wenn man den Theil 
ausserhalb des Summenzeichens, welcher für die Grenzwerthe gilt, verschwinden 
lässt. Es ist also zu setzen: