Quadraturen — Zurückf. auf. 498 Quadraturen — Zurückf. auf. 
aus jedem Integral unserer Gleichung 
f{x, y, a) = c das Hauptintegral finden 
lässt. Setzt man nämlich hierin für x 
x 0 und Zq für 2, so hat man: 
/■(*> V, z) = f(x 0 , y, z 0 ), 
eine Gleichung, aus der sich 2 0 ergibt. 
Da nun die Gleichung 
X dx + Ydy -f- Z dz — 0 
für jeden Werth von x, also auch für 
x 0 gelten muss, wo dann dx — 0, 2 = 2 0 
wird, so erhalten wir : 
Y 0 dy+Z 0 dz 0 =0, 
wo F 0 , Z 0 diejenigen Werthe von Y 
und Z sind, welche man erhält, wenn 
man' darin x und z bezüglich mit x 0 
und z 0 vertauscht, während y beliebig 
bleibt. 
Die Integration dieser Gleichung gibt 
nun z 0 als Function von y allein mit 
einer willkürlichen Constante «. Sei: 
z o=V'(y > «), 
so ist also das Integral der anfänglich 
vorgelegten Gleichung: 
i/,(y, n) = <f {x, y, 2). 
Die Integration ist also zurückgeführt 
auf 2 Gleichungen mit 2 Variablen: 
Xdx-j-Zdz-0 und Y 0 dy-\-Z 0 dz 0 = 0, 
welche man unabhängig von einander 
integriren kann. Von der ersten, in der 
man y constant denkt, ist jedoch das 
Hauptintegral z 0 — y{x, y, z) zu bilden, 
und schliesslich aus beiden s 0 zu eli- 
miniren. 
Beispiel. Sei gegeben die Glei 
chung : 
(ay—bz)dx + (cs — ax)dy + {hx — cy)dz = 0. 
Es ist also: 
X — ay — bz, Y — cz—ax, Z — bx—cy, 
Ausdrücke, die offenbar der Bedingung 
der Integrahilität genügen. 
Man hat also die beiden Gleichungen; 
{ay — 6s) dx -f- {bx—cy) dz — 0, 
cs 0 dy — cy dz 0 =0, 
indem man a: 0 =0 setzt. 
Das Integral der ersten Gleichung ist: 
lg {bz- ay)=lg {cy- bx)+lg g, 
wo g die willkürliche Constante ist. 
Setzen wir hierin x = 0, z=z 0 , so 
kommt: 
oder: 
cy {bz—ay) = (6z 0 — ay) {cy - bx). 
Die zweite Gleichung integrirt, gibt 
aber: 
s 0 =ay, 
also durch Elimination von z 0 : 
{ba — a){cy — bx) — c {bz — ay), 
wo « die willkürliche Constante ist. 
Setzt man : 
so ist noch: 
c 
cy—bx_ 
bz — ay ^ ’ 
wo y ebenfalls willkürlich ist. 
II) Im Falle, dass die Bedingung der 
Integrahilität nicht erfüllt ist, gestaltet 
sich die Betrachtung der Gleichung 
Xdx-\- Ydy-]-Zdz — 0 
sehr einfach. 
Dieselbe kann nur eine unabhängige 
Variable, und muss mithin 2 Integrale 
haben. Nun ist es klar, dass die vor 
gelegte Gleichung immer ein Integral 
gibt, wenn man zwischen x, y und z 
eine ganz willkürliche Beziehung an 
nimmt, die wir durch: 
1) 0 = y (x, y, z) 
bezeichnen wollen. Man kann mittels 
derselben eine Variable z eliminiren, 
und es verschwindet dann auch dz durch 
die Gleichung: 
2) 
d (fi 
dz 
dz — 0, 
wenn man den daraus gezogenen Werth 
von dz in die vorgelegte Gleichung ein 
setzt. Letztere verwandelt sich also in 
eine Gleichung mit 2 Variablen, deren 
Integral sein soll: 
f(x, y) = t>r. 
Die willkürliche Gleichung: 
0 = (f {x, y, z) 
kann dann als ein zweites Integral be 
trachtet werden. Also: 
„Wird die Integrabilitätshedingung nicht 
erfüllt, so hat die Gleichung immer 2 
Integrale, von denen jedoch eins ganz 
willkürlich ist.“ 
lg (6z 0 -«y) = lgc!/ + lg g, 
also durch Subtraction: 
, bz — ay 
lg r 9 
bz 0 —ay 
, cy — bx 
= lg— , 
cy 
Der nöthigen Kechnung kann man 
auch folgende Form geben. Man mul- 
tiplicire Gleichung 2) mit der unbekann 
ten Grösse k und addire sie zur vorge 
legten Gleichung, so ergibt sich: