Quadraturen — Zurückf. auf. 499 Quadraturen — Zurückf. auf. 
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wenn man zur Bestimmung von X setzt: 
4) Z+X d -^=0. 
dz 
Die Gleichungen 1) und 4) dienen dann, 
um aus Gleichung 3) 2 und X zu elimi- 
niren, und diese Gleichung 3) gibt dann 
das zweite Integral, während ff ganz 
willkürlich und q =0 das erste Inte 
gral ist. 
III) Das in II) enthaltene Resultat 
ist als das allgemeine, das in I) enthal 
ten, als ein Ausnahmefall zu betrachten, 
da hierbei eine Bedingungsgleichung zu 
erfüllen ist. Indess braucht eine Diffe 
renzialgleichung mit 3 Variablen nicht 
gerade die hier angenommene Form zu 
haben, da dx, dy, dz in jeder Potenz, 
Homogenität vorausgesetzt, erscheinen 
können. Immer aber ist das in II) ge 
gebene Verfahren anzuwenden. Sei z. B. 
die allgemeinste Relation zwischen dx, 
dy, dz angenommen, welche eine homo 
gene Gleichung zweiter Ordnung gibt, 
also: 
1) dz 2 A dx dz-\-B dy dz — Cdx 2 
-j- E dx dy + F dy 1 , 
wo A, B, C, E, F Functionen von x, 
y, z sind. Immer kann man setzen: 
ff {x, y, 2)=0, 
wo cf eine beliebige Function ist. Eli- 
minirt man mittels dieser Gleichung und 
ihres Differenzials z und dz aus der 
Gleichung 1), so hat man eine Differen- 
gleichung mit 2 Variablen x und y, die 
integrirt, und mit y. — 0 verbunden, die 
Aufgabe löst. — Stellen wir aber jetzt 
die Frage: „Unter welchen Bedingungen 
hat die Gleichung 1) nur ein Integral?“ 
so ist der Gang der Untersuchung ähn 
lich wie in I) anzustellen. 
Wir setzen: 
2) dz = pdx+qdy, 
wo x und y unabhängige Variable sein 
sollen. Dieser Werth wird in 1) einge 
setzt, wo dann dz eliminirt ist. Man 
hat: 
(p 2 + Ap — C)dx 2 +{q 2 + Bq —F) dy 2 -]-(2pq + Aq -\-Bp — E) dx dy — 0. 
Da nun x und y unabhängige Variablen sind, so ist dieser Gleichung nur zu ge 
nügen, wenn man setzt: 
3) p 2 -\-Ap—C= 0, q 2 -\-Bq — F= 0, 2pq-\-Aq-\-Bp—E=0. 
Es sind dies 3 Gleichungen, aus denen man p und q eliminiren kann. Die re- 
sultirende Gleichung zwischen A, B, C, E und F muss dann identisch erfüllt wer 
den. Setzen wir der Kürze wegen: 
A* 
+ G 2 , F — ■ 
B 2 
so ist: 
4) 
P-~~±G, q- 
+H 2 , 
und also die Bedingungsgleichung': 
{-A ±2G)(-B±2H) + A(-B±2H) + B(-A±2H)-2E = 0, 
d. h.: 
5) 
+ (BH- GB) + 2 GH-E-?£ = 0. 
A 
Diese Bedingungsgleichung ist jedoch nicht die einzige. Wegen der Gleichung 
2) muss nämlich auch sein: 
dp dq 
dy dx’ 
Diffei'cnziiren wir also bezüglich die Gleichungen 4) nach y und x mit Rücksicht 
darauf, dass z eine Function von x und y ist, so erhalten wir: 
1^4-2—- 
dy — dy 
dA 
q± 2 
dG 
dz 
?=■ 
4*+*i2 
OX — OX 
dz 
oder, wenn wir für p und q die Werthe einsetzen: 
6) — 
dx 1 “ dx dy — öy 
*Sf-Sr±*£=+(-T ±«) (£*>£) 
32*“