— Zurückf. auf. 
Quadraturen — Zurückf. auf. 501 Quadraturen — Zurückf. auf. 
e Gleichung mit 
n der F o rm: 
• • • -\-A dx =0. 
' n n 
wo die Differenziale 
in linearer Form vor- 
A, . . . A willkür- 
2 n 
on r., it, . • • X 
1,2 n 
Allgemeinheit zuerst 
wird daher auch oft 
ung bezeichnet. Einer 
ng hat sie J akohi 
Band 2 und 17) un- 
er trotz möglichster 
r Vollständigkeit zu 
g wird sich an die- 
ungen anschliessen, 
¡r dieses Wörterbuchs 
lat. (Crelle’s Journal 
im Ende : 
4- . . . +X dx 
1 n n 
s = n 
- X X dx =0, 
s s ’ 
s= 1 
st die Frage, wie viel 
im allgemeinen Falle 
swischen den Grössen 
keinerlei Bedingungs- 
iden. Wir bemerken 
flösung der Gleichung 
ist, aus je weniger 
:ht, da je mehr Inte- 
l, desto weniger von 
kürlich bleiben. 
n jetzt, wie schon frü- 
Ferenzialzeichen d und 
d dann nehmen, wenn 
der veränderlichen x 
tls derartig abhängig 
i durch die Integral- 
igt wird. 
iber die x als völlig 
nander, so bedienen 
3ns d, während also 
leich 0 ist, ist dies mit 
Fall. Indessen kann 
x ganz beliebig sind, 
sinführen, welche be- 
der x sein sollen, 
neuen Variablen aber 
die eine aus p Glie- 
i^, die andere aus q, 
itehend, p und q sind 
doch natürlich immer 
p -\-q-n. Vermöge der Bestimmungsgleichungen kann man dann setzen: 
dx dx dx dx dx 
dx —dt,-f-T-—dt 2 —j- . 
s dt, 1 di. 1 
+ ~sT~d' t +t— cTMj -f- ... -f- -— du , 
dt p dw, 11 r du q' 
V 1 q 
und auch in den Grössen X, x v x 2 . . . x^jdnrch f,, t a . . . t , u t , 
ersetzen. Es ist dann identisch: 
2) 
2XJx s =2T r i, r +2V h tu K 
wo Tj, T, , . . U l ... U' leicht zu bestimmende Functionen von t x . . . 
t . «! ...u sind, und man hat, wenn man die Differenziale nach t und m, 
v q r fi 
nimmt: 
T =J£ X 
dx 
s 
sdF’ 
r 
dx 
u. = xx 
h s ditj 
h 
Vertauschen wir jetzt das Zeichen d mit 
d, was immer geschehen kann, da d 
das allgemeinste Gesetz des Differen- 
ziirens, d einen bestimmten Fall anzeigt, 
so ist: 
XX dx =0, 
s s ’ 
also auch: 
XT dt + X U¡du, =0. 
r r k h 
Damit diese letzte Gleichung erfüllt 
werde, müssen entweder alle Differen 
ziale d£ } ,, du^ verschwinden, d. h. alle 
t und u constant sein, oder die Coeffi- 
cienten T und U derjenigen, wo dies 
nicht der Fall ist, gleich Null sein. Die 
beiden bis jetzt willkürlichen Gruppen 
der t und u bestimmen wir jetzt derart, 
dass alle T gleich Null sein sollen, und 
alle u constant. Sollte also keins der 
T verschwinden, so wäre p~0, q~n zu 
setzen u. s. f. Man hat also im allge 
meinen Falle p Gleichungen von der 
Form: 
3) 
dx 
XX sjf = 0 ' 
wo für r nach und nach 1, 2 . . . p zu 
setzen ist. — Das System der Glei 
chungen 3) ist als vollständig identisch 
mit der gegebenen Gleichung 1) zu be 
trachten. Denn da in der Gleichung 1) 
gewisse unabhängige Variable vorhanden 
sein müssen, so kann man sich eben 
die t als solche denken, und wenn man 
nach jedem derselben differenziirt, so 
verwandelt sich eben die Gleichung 1) 
in 3). Was die Grössen u anbetrifft, 
so müssen dieselben gleich Constanten 
gesetzt werden, damit Gleichung 1) er 
füllt sei. 
„Die Grössen u sind mithin die Inte 
grale der Gleichung 1).“ 
Es ist dies eben die Definition, welche 
wir von Integralen gegeben haben. Um 
die allgemeinste Auflösung zu haben, 
muss die Anzahl der Integrale, d. h. 
der Grössen u möglichst klein sein. Es 
fragt sich also, welches die kleinste An 
zahl derselben hei willkürlichen Werthen 
der X sein kann. Aus Gleichung 2) 
ergibt sich jetzt: 
4) XX s dx $ = XU h du h , 
d. h.: 
4a) 
X -XU 
h dx 
und da die Anzahl der X n ist, so hat 
man n Gleichungen von der Gestalt 4a), 
welche man erhält, wenn man nach und 
nach 1, 2, 3 . . . n für s setzt. Aus 
diesen n Gleichungen sind die Grössen 
U L , U a . . ., «j, m 2 . , . derart zu be 
stimmen, dass die Anzahl der U und 
die der u gleich q ist, und es kann also 
im Allgemeinen q nicht kleiner als 
CA 
sein. Denn sonst würden nach Elimi 
nation der U und u noch Bedingungs 
gleichungen zwischen den X stattfinden. 
Es sind also zwei Fälle zu unterschei 
den, je nachdem n grade oder ungrade 
ist. — Im ersteren Falle ist die Anzahl 
der u wirklich gleich im letztem die- 
nen die Gleichungen 4a) zunächst, um 
■J-(n-f-l) der Factoren U zu bestimmen, 
Da dann die Anzahl der Integrale u 
auch gleich y (n+1), aber nur noch 
£(n+l) — 1 oder £(n—1) Gleichungen 
übrig sind, so ist eins der Integrale in 
diesem Falle ganz willkürlich. Wir wer-