Quadraturen — Zurückf. auf. 502 Quadraturen — Zurückf. auf. 
den dies willkürliche Integral mit <f bezeichnen. Man hat also in beiden Fällen 
die Identitäten: 
5) 
6) 
*X dx =U i du l + U,du 2 + . .. + Udu, 
s = i n n 
2 +1 X s dx s z=Xd<p+U i du l + Utdu i + ... +U n du n , 
und es sind die Integrale der Gleichung: 
s = 2n 
2 X dx = 0, 
s s ’ 
s= 1 
W| — (t i s Wo — w. » » » U — w . 
1 17 z 2 n ri* 
« ;l beliebige Constanten vorstellen. Die Integrale der Gleichung: 
s = 2n+1 
2 X dx = 0 
sind dagegen: 
a = c, m.=«., n, = a, . . . u = a , 
T 1 * 7 3 a n n' 
wo <fi eine willkürliche Function der x ist. 
Die Integration einer totalen Differenzialgleichung stellt sich also wesentlich 
verschieden, je nachdem die Anzahl der Variablen gerade oder ungerade ist. Für 
den letztem Fall haben wir bereits schon das einfachste Beisptel w = 3 betrachtet, 
und gefunden, dass in der That von den 2 Integralen eins willkürlich ist. 
Die Grössen t haben wir oben als unabhängige Variable betrachtet. Es lässt 
sich nun zeigen, dass man für dieselben, deren Anzahl in beiden Fällen gleich 
n ist, ganz beliebige Functionen der x nehmen kann, ohne dass sich die Integrale 
ändern. 
Nehmen wir nämlich 2n bezüglich 2n-|-i Gleichungen von der Gestalt: 
X S =^(<1. • • • t p , M a . . . « ), 
wo die t willkürlich sind, die u ihre ihnen gegebene Bedeutung behalten, so ist 
offenbar: 
2 X s dx s =2Cdt + 2 Bdu, 
eine Gleichung, die ganz wie Gleichung 2) ist. 
Wegen der Gleichung 4) muss aber auch sein: 
2 U, du, —2C dt +2B,du n 
h h r r h h’ 
eine Gleichung, die sich nur erfüllen lässt, wenn: 
B, = U,, C =0 
h A’ r 
für jedes r und h ist. Die u sind also Integrale, was auch die t sein mögen. 
33) Integration der totalen Differenzialgleichung für den 
Fall, dass die Anzahl der Variablen grade ist. 
Wir integriren zunächst die Gleichung: 
s = 2n 
2 X dx — 0, 
SS' 
S— 1 
d. h. wir bestimmen in Gleichung 5) des vorigen Abschnittes die Integrale u. Der 
Kunstgriff, dessen man sich hierbei bedient, besteht in der Auswahl der an sich 
willkürlichen unabhängigen Variablen t. Zu dem Ende setzen wir: 
U l = Fßj, U t = Va, 
. U =Va , 
n w