Quadratische Factoren. 
44 Quadratische Factoren. 
ip(ß) = 0 
Satz IV. Wenn der Werth x = ßdic 
Gleichung wird: 
f(x) = ec oder -— = 0 
' wo »/',(/3) nicht gleich Null und p eine 
erfüllt, so ist ganze Zahl ist, also: 
f(x) = ^~—p, ffr\- JL - 
(x-ß)' 
wo </ t (ß) nicht unendlich ist. wo 
Beweis. Nach dem vorigen Satze 
ist, wenn wir 
tp(x) = (x-ß) ip t x 
nit 
is 
fix) 
xp 2 {x) - 
V'W (x-ßy 
1 
f( x ) 
= tp(x) 
VtO) 
für x = ß nicht verschwindet. 
Aus diesen vier Sätzen folgt der un- 
serige augenblicklich. Man hat: 
setzen, da 
f(x) = (x-af) n ' A (*) = («-« i)'* 1 (x-aj" 2 f 2 (x) = (x-cc l ) ni (æ-a 2 ) w » (x-ß 3 ) 
f»{&= • • • =(*-Ki) n ‘ (x-a 2 ) >l2 .... (x — a s ) Hs fs{x), 
wenn « « .. . a Wurzeln der Gleichung 
u. s. w. 
Ferner ist, wenn 
f(ß l) = » 
12 s 
f(x) = 0 sind, denn es muss dann auch 
ist, auch 
eine Wurzel der Gleichung 
fiß l) = CO 
AW=o 
und 
S 
sein, folglich f,(x) = (x—aYf^,(x); «, ist 
f s (ßx)~° 
eine Wurzel der Gleichung 
/a(*) = 0 
also : 
,, v (x-af) n Y x -<*■>) 
f( x ) = 
U 2 
(x — tt ) « 
< fl {x) 
(x-n^Yx-cc^f 2 . . . (x-cc s ) ns 
( x ~ßi) V '(. x ~ß*f 2 • • • ( x ~ß s f s 
Vs* ■ 
ein Ausdruck, der sich leicht auf die in Wenn f(x) nicht unendlich wird, so 
7 gegebene Form bringen lässt. muss es irgend einen Werth Avonx ge 
il) Der Beweis des Satzes I, auf den hen, für den der reelle Theil von f(x) 
auch Satz II beruht, ist hier nach Briot ein Maximum wird. Setzen wir nun 
et Bouquet, Théorie des fonctions dou- , 
blement périodiques gegeben; obgleich 
einfach, setzt er doch Begriffe aus der wo x beliebig ist, so wird, wenn f(x) nie 
Integralrechnung complexer Grössen vor- unendlich ist, immer eine Entwickelung 
aus. Wir wollen hier daher versuchen, nach positiven ganzen Potenzen von h 
noch einen andern elementaren Beweis möglich sein. Wir setzen: 
zu führen. 
f(x)=Re'f\ f(i) =Q eCa , / ft ) (i)= Q e (Cni , h= r e ß \ 
also : 
Re'f i =Q e tti +r Ql e(*+ a + . . . + r "e« 
1*2..• 
+ • . . 
Es können möglicher Weise einige der Grössen p, p 2 . . . Q s verschwinden; sei 
q h die erste, wo dies nicht stattfindet, also: 
+e„ +1 '-e ( “+ 1 •’+“»+i )i + .. . ) 
M+l 
Quadra' 
Bezeichne 
diejenigen We 
„ n 
& = - setzen, 
n 
R 
R 
Man kann 
klein nehmen 
den Klammen 
übertrifft, das 
reellen Thcils 
die übrigen G' 
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R i e'f’ und R 
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daher von de 
folgt daraus, 
Theile von 
R 
und 
R 
entgegengesetz 
Theile sind: 
Ist also 
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mit f oder w 
mit f (a, b, c 
tigkeit ist nan 
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stitution.