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12) 
S = 2M— 1 
f B t dß a =0. 
Die ß sind hier gegebene Functionen der x, die B werden bestimmt durch die 
2n Gleichungen : 
Ax hB 2 ^ . . . +B 
s ox ox 
‘ln— 1 
2w— 1 dx 
wo für s zu setzen ist; 1, 2 . . . 2n. 
Eine dieser Gleichungen muss eine Folge 
der übrigen sein, die andern dienen zur 
Bestimmung der B als Functionen von 
x. Diese Variablen x,, x~ . . . x 
1,2 ln 
werden aber mit Hülfe der 2m—1 Inte 
gralgleichungen bis auf eine als Functio 
nen der ß ausgedrückt, und in den 
Grössen B kann nach der Substitution 
derselben x L nicht mehr Vorkommen, da, 
wie wir eben gezeigt haben, dieselben 
nur von den ß abhängig sind. Es bleibt 
also noch übrig, die Gleichung 12) zu 
integriren. Da die Anzahl der Variablen 
ß ungerade ist, so erfordert sie nach 
dem vorigen Abschnitte ein willkürliches 
Integral. Dazu wähle man eins der ß, 
z, B. /?,. Dies kann unbeschadet der 
Allgemeinheit geschehn, da ja jedes In 
tegral als eine willkürliche Function eines 
beliebigen Systems anderer Integrale 
betrachtet werden darf. Wir setzen da 
her ß t einer Constanten gleich. Nun 
hat die Gleichung 12) noch 2n—2, also 
eine grade Anzahl von Variablen. Ihre 
Lösung kann also durch ein System von 
der Form 11) bewirkt werden, in wel 
chem man dieX,# durch die B, ß und die 
Zahl n durch n—1 ersetzt. Sind y L , 
}'*••• Y n — ■> die I nte g r ale dieses Sy 
stems, so kann man wieder y t gleich 
einer Constante setzen, und erhält ganz 
wie oben eine der Gleichung 12) ana 
loge 
X Cdy = 0 
mit 2m—4 Variablen. Fährt man so 
fort, so hat man nach und nach ein 
System von 2m—5 Gleichungen mit 
2m—4, 2m—7 Gleichungen mit 2m—6, 
u. s. w., endlich 1 Gleichung mit 2 Va 
riablen. Indem man das erste Integral 
jedes Systems einer Constanten gleich 
setzt, erhält man so die Integrale: 
ß n y U i • • • v u 
im Ganzen n Integrale, und diese sind 
offenbar die Integrale der vorgelegten 
Gleichung 5) des vorigen Abschnittes, d. 
h. diejenigen Grössen, die wir mit « t , 
m„ . , ,u bezeichnet haben. 
2 n 
Bis zu diesem Punkte hat Pfaff das 
Problem behandelt. Die Ausführung 
wird aber bei weitem einfacher und ele 
ganter, wenn man sich mit Jakobi der 
jenigen Integrale bedient, welche wir 
oben als Hauptintegrale bezeichnet haben. 
34) Einführung d er H aup t int e- 
grale in Bezug auf die hier be 
handelte Aufgabe, 
Nachdem das System 11) integrirt ist, 
kann man die Integrale ß unter unend- 
endlich vielen Formen schreiben. Wir 
führen jetzt die Form der Hauptinte 
grale ein, d. h. wir setzen oder 
gleich einer andern beliebigen Zahl. Es 
mögen dann sich verwandeln x 2 in x 2 ', 
x 3 in x 3 u. s. w. Wir ersetzen dann 
das System der ß durch das System 
x./, x 3 ', xj . . ., und die Gleichung 12) 
des vorigen Abschnitts wird dann: 
2AX(?x = 2Kdx', 
wo die £ nur Funktionen der Grössen 
x 2 r , x 3 . . . sind. Das Wichtige die 
ser Form ist nun, dass man diese 
Grössen K augenblicklich bestimmen 
kann. — Zu dem Ende bezeichnen wir 
mit A', X/, X 2 ' . , , die Werthe, 
welche bezüglich A, X lt X- 2 annehmen, 
wenn man darin x L , x 2 ... x^ n mit 
0, xd ... x' vertauscht. Da nun die 
’ 2 2m 
Gleichung: 
2AXdx = XKdx' 
für beliebige Werthe der x gilt, so ist 
auch: 
XA'X'dx' = 2K dx', 
also identisch: 
und: 
12 a) XAXJxzzXA'X'dx'. 
Da x 2 r an die Stelle von ß t getreten 
ist, so ist u l = x 2 ', einer Constante gleich 
gesetzt, das erste Integral der Gleichung 
5). Man hat nun zu integriren die 
Gleichung: 
XX'dx r - 0, 
welche 12) entspricht, und deren Varia 
blen xd, x/ . . . x'„ sind. Die Inte- 
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