— Zurückf. auf.
Quadraturen — Zurückf. auf. 507 Quadraturen — Zurückf. auf.
iedenen Systeme wer-
man nach und nach:
x («-!)
' X 2n— l
r andern Zahl gleich
tem gibt ein Integral
ämlich:
, (n)
n 2 n
die Grösse A der
wegen mit A x be-
tt 9) haben wir eine
selbst, sondern deren
in dem gegebenen
ils Index des Systems
llen diesen Ausdruck
rss wir eine Variable
nnen, wenn nur das
mnction von ihr in
orkommt. In den
nmt nun nur:
lg A,
1 und in den Syste-
. . also auch A 2 ,
Jeder Index hat,
rn wollen, die Eigen-
e Erhöhung des Sy-
en kann. Zieht man
hdem durch A divi-
mng von allen übri-
1g A verschwunden,
n der so gebildeten
le beliebige der Glei-
erste:
r Grössen bestimmt
>sse Quadratur.
lerholt:
• )
13) ¿Xdx = ^ X 2 'dx 2 ' + X” dx 3 " + A ffl X t '"dx,"'+ . .
A t 'A/A 3 ' ...A
+-
x ( n hx (n) .
A 2 n 2 n
A x ij A s . . . A^
Man kann hierbei als unabhängige Variable betrachten die Indices A n A 2 ...A
A/ A/A,' Ai'Ä a '.--A n '
oder auch die Eactoren
A’ A l A 3 - ' A x A 2 ... A’
Die sehr wichtige Gleichung 13) gibt die Form an, auf welche sich der Aus
druck JSXdx, wo cf eine beliebige Veränderung anzeigt, bringen lässt, wenn die
Gleichung iXdx — 0 integrirt ist.
Um die Wichtigkeit dieser Gleichung zu zeigen, bemerken wir, dass es oft
vorkommt, dass einige der Functionen X, also etwa X , , , X
_ u+p + i n+p + 2
X g n gleich Null sind, während die vorhandenen X Functionen der 2« Variablen
x sind. Man hat dann nur nöthig, p Systeme von der Form 11), 11 a) ... zu
integriren, um eine Gleichung von der Form zu haben;
14) x 9 (?W (p)+ x ,,(pW .. . +x , Md* , W=o.
' 2p 2p 2p+1 2p + l ‘ ~ n-\-p M+p
Die ersten Hauptintegrale der p — 1 vorher gebildeten Systeme sind zu
gleich Integrale der Gleichung XXdx— 0; es fehlen also noch n —p-j-1
Integrale, da ihre Anzahl n ist, und diese werden erhalten, wenn man
n—«4-1 Grössen x x . . . . x . ^ gleich Constanten setzt. Es sind
also in diesem Falle statt n nur p Systeme zu integriren. Ausserdem hat man:
15) 2Xdx = ^±-X a dx a '+ A /^-X/ , d»t"+ . . .
//1 A., A.*
+ ■
A/A./ . . . A
v-
A t A 2
. A
p-i
X (P~~ 1 ) t fa? 0
2p —2 ° 2p — 2
A.’AA . . . A '
+- (X (P^tfx (P)-f X
A t A a ... A 1 2p 0X 2p ^ A 2p+1
(p)
dx
2 p + 1
(P)
+ . . .
+ X
)•
(P)<fx ÖO
"n+p n+-p
Besonders wichtig ist der Fall, wo p = l ist. Man hat dann nach einer Integra
tion bereits die Gleichung 14). Es ist lediglich das System 11) zu integriren,
und die Hauptintegrale desselben sind auch die Integrale der vorgelegten Glei
chung 5). Die Gleichung 15) aber nimmt in diesem Falle die Gestalt an:
15a) 2Xdx=^X-{X 2 'dx.' + X'dx 3 '+ . . . +X' dx f . ).
A i 2 3 3 n+\ m+1 '
Dieser Fall ist darum so wichtig, weil auf ihn, wie zu seiner Zeit gezeigt werden
soll, die partiellen Differenzialgleichungen erster Ordnung sich immer zurückführen
lassen.
35) Integration einer totalen Differenzialgleichung mit einer
ungraden Anzahl von Variablen.
Wir haben uns jetzt mit der Integration der Gleichung 6) zu beschäftigen,
welche wir schreiben wollen:
16)
s~2n+'\ h—n
XdxzzXdqArS U h du h .
s = l h—I
Setzt man die willkürliche Function gleich einer Constante a, so kann man
mittels der Gleichungen:
