Quadraturen — Zurückf. auf. 509 Quadraturen — Zuriickf. auf. 
wo die Factoren a von A unabhängig sind. Man erhält nun ebenso, wie im be- 
zeicbneten Abschnitte : 
d {2 A X dx—pd(f)=0, 
und: 
d(A A X dx—pd(f~) — 0. 
Da aber die Lösung unserer Gleichung erfordert, dass <p einer Constante gleich 
sei, so ist: 
drj. = 0 und folglich auch cf «5 y = 0. 
Man erhält dann durch Transformation der letzten beiden Gldichungen: 
A2Xddx+2d{AX) dx~dp cL/=0, 
A2Xddx+2d{AX) dx=:0, 
also durch Subtraction: 
18) Ad (AX) dx—dp dq — AX dXdx, 
wenn man die Gleichung 2Xdx = 0 berücksichtigt. Hieraus bildet man ganz wie 
in Abschnitt 32) das System: 
19) 
(kf. 
dx. 
j0 = 2M+ 1 , 
2 1 
,dX 
V 
dX^ 
„=, 1 
K dx, 
dX p J 
p — 2M-f- 1 
2 i 
{ dX 
v 
¿x; 
P= 1 
Q/l 
* p~2n-j-l 
X. , ,äA-du z + A 
2 »+' r= I 
Mit diesen 2m+1 Gleichungen verbindet man: 
2~ dx = 0. 
ox 
\ dx dx / P 
' 2n+l p ' 
Offenbar kann man durch blosses Abziehen zunächst du, dann aber, nach Division 
dA 
durch A, auch —~ = (5lgA eliminiren. lg A und p ergeben sich dann nach Inte 
gration des so reducirten Systems durch blosse Quadraturen. Es sind also p und 
A Indices des Systems 19). Nach Elimination derselben hat das System also 
noch 2n Gleichungen mit 2«-f-l Variablen. Ein Integral desselben, q,— a, ist 
aber bereits bekannt. Setzt man :c L :=0, so erhält man in Verbindung mit q — a 
die Hauptintegrale x./, x 3 ' . . . x’ , und es wird: 
2 A X dx = A (1 dq. + 2 Vdx) = p dq. + A* 2 V dx'. 
Der Ausdruck 2 Vdx' enthält nur 2m—1 
Variable. Man setzt wieder x./ gleich 
einer Constanten, und zur Bestimmung 
der übrigen Integrale der Gleichung 16) 
ist dann wieder von einem Systeme wie 
11a) auszugehen, oder was dasselbe ist, 
von dem System 19), wenn man darin 
xX mit x' V vertauscht, und dp — 0 
setzt. 
36) Bedingungen, unter wel 
chen weniger Integrale als im 
allgemeinen Fall e derGleichung 
genügen. 
Die vorigen Abschnitte erschöpfen den 
allgemeinen Fall unseres Problems. — 
Wie aber bei einer Gleichung mit 3 Va 
riablen der Fall eintreten konnte, dass 
sie nur ein Integral hatte, so ist es bei 
2n und 2n+1 Variablen ebenfalls mög 
lich, dass sie auch weniger als n, bezüg- 
m+1 Integrale habe, und haben wir für 
alle diese Fälle die entsprechenden Be 
dingungsgleichungen zwischen den Grössen 
X aufzustellen. 
Wir unterscheiden wieder die beiden 
Hauptfälle, wo die Anzahl der Variablen 
grade, und wo sie ungrade ist. 
I. Fall einer graden Anzahl von Va 
riablen.