tisclie Factoren. 
Quadratische Factoren. 45 Quadrat. Form (Zahlenlehre). 
V<ß) = 0 
= (x-ßfip l x 
gleich Null uod p eine 
also: 
_1_ __ V*a(*0 
(a;—¿5)? 
verschwindet. 
icr Sätzen folgt der un- 
klich. Man hat: 
) Ä K«-« a ) Ä > (a-«,)" 3 
-«s) n$ fs («), 
ir ist, wenn 
f(ß i) = °0 
/■(/» i) = ® 
S 
= 0 
-TiQO 
licht unendlich wird, so 
einen Werth Avono: ge- 
er reelle Theil von f{x) 
vird. Setzen wir nun 
x - A + h, 
t, so wird, wenn f(x) nie 
mmer eine Entwickelung 
ganzen Potenzen von h 
Vir setzen: 
h = r^\ 
r«q n ^' nd ' Jra ^\ 
Ì-2...M + • • • 
. . q s verschwinden; sei 
+ cc n+l )i + • • • ) 
Bezeichnen wir nun mit 
ß, (/,, ß, (f 2 
diejenigen Werthe von ß und </, welche entstehen, wenn wir bezüglich = 0 und 
71 
,9 = - setzen, so ist: 
n n , . V 
ß, e yi *=ge flt+ r27T7 t ( e H eff " >+e »+i rgffw+11+ ’• • ) 
it+i 
n ,,.i .i x r* / «„V ^»+'.+0*+ • . . 1 
,e + fr 2 — + <’«+i re . 1 
»i+1 
Man kann nun das beliebige r so 
klein nehmen, dass das erste Glied in 
den Klammern die übrigen dermaassen 
übertrifft, dass cs das Vorzeichen des 
reellen Thcils derselben bestimmt, denn 
die übrigen Glieder sind alle mit Poten 
zen von r multiplicirt. Die reellen Theile 
der ersten Glieder in den Klammern hei 
R l C r fund haben aber entge 
gengesetzte Vorzeichen, und gilt dies 
daher von den ganzen Klammern; es 
folgt daraus, dass auch je die reellen 
Theile von 
R^e'f 
und 
entgegengesetzte Vorzeichen haben. Diese 
Theile sind: 
R l COS (/ i~() cos « 
ß 2 COS (f 2 — p cos er. 
Ist also 
ß, cos (f i<Q cos er, 
aa; 2 -\-bxy-\-cy 2 -\-ßxz-\-ez 2 -j- . 
Wir setzen voraus, dass die Coefficien- 
ten ganze Zahlen sind, und betrachten 
nur die in der Zahlenlehre besonders 
wichtigen homogenen binären Formen 
von der Gestalt 
ax 2 +2bxy + cy 2 
Wir haben hier den Coefficienten des 
mittleren Gliedes 2b als grade angenom 
men. Sollte dies nicht der Fall sein, 
so wird er grade gemacht, indem man 
die ganze Form mit 2 multiplicirt. Von 
Wichtigkeit für die ferneren Betrachtun 
gen ist der Ausdruck: 
D — b 2 —ac 
den wir als Determinante bezeichnen. 
Wir wollen ferner die gegebene Form 
mit f oder wenn es nöthig sein sollte 
mit f (a, b, c) bezeichnen. Von Wich 
tigkeit ist namentlich der Uebergang von 
einer quadratischen Form auf andere 
ähnliche auf dem Wege linearer Sub 
stitution. 
af — a 2 x 2 +2abxy-\-(b 2 — 
so ist 
ß 2 COS ff > p cos «. 
Dies ist unmöglich, weil p cos n der reelle 
Theil von /■(!), also ein Maximum war. 
Es ist also 
e =0 
n 
d. h. der Modul aller Differenzialquo 
tienten von /■ (A) verschwindet, und da: 
/W = f(A)+V'A+^T(A>+. • 
so würde 
n*)=m 
also einer Constanten gleich sein, in je 
dem andern Falle aber wenigstens 
einmal unendlich werden. 
Quadratische Form (Zahlenlehre). 
1) Quadratische Form heisst eine ganze 
algebraische Function der Variablen 
x, y, x, . .., welche dieselben nur höch 
stens in zweiter Dimension enthält, also 
der Ausdruck: 
. . +fx+qy-\-hz.-f- . , . +k. 
Durch lineare Substitution wird die 
Form f in eine andere ähnliche Form 
verwandelt f r . Wir setzen nämlich: 
1) X-(tX f -\-ßy f 
2) y = yx' + dx’ 
so ist: 
3) /' +■ a'x’ 2 + 2//a;'v/ + c'y' ’ 
die sich aus der ersten ergebende Form, 
wo zu setzen ist: 
a' — da 2 + 2bny -f- cy 2 
c’ — aß 2 -\-2bßd + cd 2 
b' zz aaß-\-b(ad -\-ßy)+cyd 
Sei noch 
D’ — b' 2 — a r c r 
die Determinante der zweiten Form, so 
ergibt sich leicht durch Einsetzen: 
D' = D{ad~ßy) 2 
Wir bezeichnen die zweite durch li 
neare Substitution aus der ersten entstan 
dene Form als in derselben enthalten. 
Bemerken wir noch, dass man schreiben 
kann: 
D)y 2 = (ax+by) 2 -Dy 2 .