Quadraturen — Zurückf. auf. 515 Quadraturen — Zurückf. auf. 
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wonnen (Grelle Bd. 59), welche hiev noch folgen sollen. — Denkt man sich von 
einem zu integrirenden System zunächst ein Integral gewonnen, so wird dadurch 
im Allgemeinen das System auf ein anderes reducirt, welches eine Gleichung und 
eine Variable weniger enthält. In unserm Falle aber ist der Vortheil ein grösserer. 
Sei zunächst die Anzahl der Variablen wieder 2n. Ist nun ein Integral be 
kannt, so kann dies immer als das erste betrachtet und mit w t bezeichnet wer 
den. Man bringt dann unsere Gleichung 
2 AX dx = 2 a du 
auf die Form: 
2A X dx — du, = a t du 3 -{- . . . 
Wie in Abschnitt 34), wenn man daselbst die Grössen p, y mit u t vertauscht, 
beweist man die Relation: 
2d(AX)dx-da, du,=A2 dXdx, 
und aus dieser Gleichung ergibt sich ein System von der Form 19), nämlich: 
d u p = 2 n 
23) X l dA = da,^±+A 2 (p, l)dx 
ux \ p~ i • 
d u P ~ 2,1 
X 2 <5A=:<5ß l —--\-A 2 (p, 2) dx 
dx 2 p-\ P 
X„ dA — da 
2 n 1 
du, 
dx„ 
p— 2 n 
2 (p, 2n) dx . 
p— 1 ' 
Mit Hülfe der Gleichung ?< l =const. 
und durch blosse Subtraction kann man 
aus diesen 2« Gleichungen eliminiren 
x, und die Indices A und a,. Es blei 
ben dann noch 2n—2 Gleichungen mit 
2n—1 Variablen. Die Anzahl der Inte- 
11 «j K j 
ist aber 2n—3 (man kann nämlich in 
der Gleichung 
2 AX du—a, du, —a 2 du 2 + a 3 du 3 -\- ... 
ganz wie oben die erste unabhängige 
Veränderliche als gemeinschaftlichen 
Factor von a t , a a . , . denken, wodurch 
n Cf C( n 
denn die Verhältnisse —, — . . . — 
ß, ß 2 
von derselben unabhängig, mithin Inte 
grale der Gleichungen 23) werden. Diese 
Verhältnisse aber und die Grossen u 2 , 
u 3 . . . bilden ganz aus den früher an 
geführten Gründen alle Integrale des 
Systems 23). Damit nun 2n—2 Glei 
chungen 2n—3 Integrale haben, muss 
eine Gleichung des Systems eine Folge 
der übrigen sein, und dann enthalten 
die Gleichungen 23) zwei unabhängige 
Variablen. Dies ist übrigens auch an 
sich klar, da der Definition zufolge alle 
«, also auch a t , von A unabhängig sind. 
Nach dem im vorigen Abschnitte Ge 
sagten, zerfällt das System von 2n—1 
Gleichungen mit 2n Variablen in zwei 
Systeme von 2n—3 Gleichungen mit 
2n—2 Variablen. Ein System mit 2n 
Variablen wird auf eins mit 2n—2 Va 
riablen im Allgemeinen durch die Kennt- 
niss zweier Integrale reducirt. Man kann 
also sagen, „dass bei unserer Aufgabe 
die Kenntniss eines Integrals dieselben 
Dienste thue, als die Kenntniss zweier 
im allgemeinen Falle“.*) 
Da aber die Gleichungen 11) 2n—1 
*) Dass zwei Systeme statt eines zu 
integriren sind, ist hierbei ganz unerheb 
lich. Immer können in der Integral 
rechnung eine beliebige Anzahl simul 
taner Systeme von gleichviel Gleichungen 
und Variablen auf ein einziges zurück 
geführt werden. So z. B. setze man 
statt der beiden simultanen, aus je einer 
Gleichung bestehenden Systeme: 
dy = f(jx, y) dx, dy'—rj, (a/, y') dx': 
dy = [Af(x, y) + B<f(x, y)] dx, 
wo A und B beliebige Constante sind. 
B = 0 gibt dann die erste Gleichung, 
A~0 die letzte, und man sieht, wie dies 
auf jede Anzahl von Gleichungen und 
Variablen angewandt werden kann.