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Integrale erfordern, die Gleichungen 23) aber deren nur 2m—3 geben, zu welchen 
noch ii ( kommt, so scheint ein Integral zu fehlen. Offenbar ist dies aber der 
Index denn a x ist ja von A unabhängig. „Es kann also das noch fehlende 
Integral nach Auflösung der Gleichungen 23) durch blosse Quadraturen gefunden 
werden.“ 
Ist noch ein ferneres Integral der Gleichungen 23), also ein solches, welches 
weder mit u x noch mit a x zusammenfällt, gegeben, so kann dies für u 2 genom 
men werden, da das erste Integral jedes Systems willkürlich ist. Es ist aber: 
2AXJx— a, du L — n 2 cfu 2 = « 3 du 3 -f- • • . + « cT« , 
eine Gleichung, die wir auf dem in Abschnitt 35) eingeschlagenen Wege verwan 
deln in das System: 
24) 
X, dA = dß 1 —i+d« 2 T M 2 {p, 1) dx. 
ox l ox l p—\ " 
du x 
dx.. 
) p ~ 2n 
'+A 2 ( P , 2)dx 
p— t ” 
dx 
du t du 2 P- 
X 2n dÄ = dtt 'te~-d^~ + A 2 <P> 2n ) ö V 
2 M 2n p—i “ 
A, c< 2 sind Indices. Mit Hülfe von 
M,=const., u 2 — const 
reduciren sich diese Gleichungen nach Elimination von x x , x 2 , A, a L , cc 2 auf 
2m—3 Gleichungen mit 2«—2 Variablen. Die Anzahl der Integrale Mg,«* ... m^, 
« a n 
— . .. — aber ist 2n—5. Es werden also, wie auch direct aus der Unahhängig- 
keit der Grössen A, ct L , cc 2 von einander folgt, 3 Variable unabhängig. Zu in- 
tegriren sind 3 Systeme von 2«—5 Gleichungen mit 2m—4 Variablen. Auch die 
ses Integral der Gleichungen 24) vertritt die Stelle von zweien. Von den noch 
fehlenden Integralen der Gleichungen 24) ist dann u 2 das eine, « 2 das andere. — 
Ist auch von den Gleichungen 24) ein Integral u 3 bekannt, so hat man Gleichun 
gen von der Form : 
26) 
5 5 5 r 
Sie zerfallen in 4 Systeme von je 2m—7 Gleichungen mit 2m—6 Variablen. Hat 
man so alle Integrale u lt u 2 . . . u n gefunden, so erhält man die Indices« ohne 
Weiteres durch Auflösung der 2m linearen Gleichungen: 
s = 2m 
AX - 2 
P s= . 
du 
s 
x , 
s dx 
V 
wo p alle Werthe von 1 bis 2n annimmt, die Grössen die Un- 
M 
bekannten sind. Sind aber nur die Integrale der Gleichung 25), nicht die noch 
übrigen u bekannt, so ergeben sich die Indices « t , « 2 , a 3 durch Quadratur. 
Man kann nun wieder ein Integral des Systems 25) als bekannt voraussetzen, 
von dem neu entstehenden wieder eins und so fort bis zum rten. Dann hat 
man Gleichungen von der Form : 
q— r du p ~ 2m 
26) X dA = 2 da —1-j-A 2 {p, s) dx ; 
q= i 9 dx s p-1 P 
sind V 2r+2 ‘ ‘ ‘ V 2n ^ nte S ra i e dieser Gleichung, so ist: