Quadraturen — Zurückf. auf. 519 Quadraturen — Zurückf. auf. 
also möglich, aus zwei bekannten Inte 
gralen Mo von gewissen Eigenschaf 
ten alle übrigen zu entwickeln, und es 
ist klar, dass es solche Integrale und 
m 2 geben muss, wenn auch höchst selten 
der Eall eintreten mag, dass sich der 
artige ohne Kenntniss der übrigen bilden 
lassen. Nehmen wir aber auch an, 
(y~) er ^ t n ’ c * lt e ^ en S e g e b enei1 
Bedingungen. Ist dann ^—1 = 0, so ist 
w wie vorher u 2 zur Reduction des Pro 
blems zu gebrauchen, d. h. es vertritt w 
die Stelle von 2 Integralen. Ist 
“ (£) 
gleich einer Constante, oder gleich einer 
Function von io allein, so erhalten wir 
(a - 
eine Function von 
A)m 2 \ 
/ öwA 
1 ~ l=W, 
\oa 2 1 
(daj l ’ 
\ du x / 
Avieder n t ; ist 
Man erhält durch Auflösung zweier 
Gleichungen mit 3 Variablen 2 von 
unabhängige Integrale, und «, durch 
Quadratur. Eins der beiden Integrale 
dient zur Reduction, das andere, welches 
w. 2 heisse, ist dann weiter zu unter 
suchen, wie oben. Mit Ausnahme des 
Hauptfalles, wo die Integrale die Stelle 
von 2 vertraten, also » = 0 war, kommt 
in den Ausdrücken (5—)) • • * 
immer der Index A vor; dieser müsste 
also bekannt sein, um unsere Unter 
suchung anzustellen. Nur in dem von 
Jakobi behandelten Falle ist A eine 
Constante. Klebsch hat indess bemerkt 
(Grelle Bd. 60), dass man den Ausdruck 
durch einen andern, der ebenfalls 
ein Integral der Gleichungen 11) ist, 
ersetzen könne, und der von A frei ist. 
Offenbar ist nämlich: 
u. 2 und v allein, so geben die beiden 
Gleichungen: 
i^r)= a ’ (£)=*<■"•• "’>■ 
d. h. die Gleichung: 
( ^ "i - <f ( M 2> W ) 
\du 2 / ~ w 
gibt ein Integral w), welches von 
unabhängig ist, also die Stelle von 
2 Integralen vertritt, ausserdem ergibt 
sich durch Quadratur. 
Ist io ein neues Integral, und bildet 
/ die \ 
man —-Ji und möge dies nicht die 
angegebenen Bedingungen erfüllen, son 
dern eine Function von u 2 ,iv,w l sein 
so hat t man die Gleichungen : 
wenn man überall 
setzt. Da aus 
\daj 
durch v, er- 
p-= A 
d “i s= 1 
s=2n ( ) v dx 
dx 
V 
p d «i 
mittels der oben gegebenen Gleichungen 
dx 
die Grössen -— sich eliminiren lassen, 
oa l 
so behält alles oben Gesagte seine Gül 
tigkeit. Ist namentlich u, nicht identisch 
einer Constante, so, bildet es ein neues 
Integral, und man untersucht 
\dc<J 
ig 
(s;) =lsK+lgi ' 
frei is 
t: 
wo V von A frei ist, und da A von 
unabhängig ist: 
l'du, 
r, ■ " 
d«! 
Fd«. 
dV 
Es ist also auch 777—= V, ein Integral 
V 0«, 
der Gleichungen 11), welches vonA frei 
ist, und auf welches sich ganz die obi 
gen Betrachtungen anwenden lassen, 
u. s. w. Alle diese Ausdrücke sind aber 
vom Index A ganz frei. 
40) Zusammenfassung der ge 
fundenen Resultate. 
Wir wollen schliesslich die, wie es bei 
dem behandelten Gegenstände nicht an 
ders sein kanu, ziemlich complicirte Un 
tersuchung der totalen Differenzialglei 
chung hier nochmals zusammenfassen. 
I) Die Gleichung 2 X,cfo = 0 hat n 
oder «,-f-l Integrale, je nachdem die An 
zahl der Variablen 2n oder 2w+l ist. 
Im letztem Falle ist ein willkürliches 
darunter, nach dessen Elimination der 
zweite Fall auf den ersten zurückge 
führt ist. 
II) Die Bestimmung dieser Integrale 
führt zu n Systemen von Differenzial 
gleichungen mit bezüglich 2n, 2n—2 . . . 
6, 4, 2 Variablen. Fallen jedoch in der 
Gleichung 2 X dx = 0 von den Functio-