Quadrat. Form (Zahlenlelire). 46 Quadrat. Form (Zahlenlehre). 
Quadrat. E 
2) Es wird jetzt die Frage gestellt: 
Wie müssen die Formen f nnd f r be 
schaffen sein, damit sowohl die zweite 
in der ersten, als auch die erste in der 
zweiten enthalten sei? 
Damit das erstere stattiinde, war 
D' — Du 2 
wo 
u — ad—ßy 
war zu setzen; es muss also der zweiten 
Bedingung wegen auch 
D — D'v 2 
sein, wo v eine ganze Zahl ist. Die 
Multiplication beider Gleichungen gibt 
DD' = DD'u 2 v 2 
also 
M 2 C 2 : 1. 
Die Auflösung dieser Gleichung in gan 
zen Zahlen ist offenbar: 
u = +1 und v - +1 
so dass also: 
u = ad—ßy = +1. 
wird. 
Nun aber fragt sich noch, ob immer, 
wenn die letzte Gleichung stattfindet, 
auch jede der Formen wirklich unter 
der anderen enthalten ist. 
Wegen der Gleichungen 
x = ax'+ßy r 
y = yx'+ ciy 
ist offenbar 
ux’ = da—ßy 
uy'— — yx+ay 
wie man augenblicklich durch Auflösen 
dieser Gleichungen ersieht, welches auch 
der Werth von 
u = ad—ßy 
sei. Ist nun u — +1, so ist 
x' = +(dx—ßy) y's:±(—Yx+cty); 
also es findet in der That eine lineare 
Substitution mit ganzen Coefficienten 
statt. Also die Bedingung m = +1 ist 
für das Enthaltensein der Formen unter 
einander nothwendig und ausreichend. 
Zwei Formen dieser Art heissen äqui 
valent, die Substitutionen, durch welche 
eine der äquivalenten Formen f in die 
andere f\ und die, durch welche f f in 
f übergeht, heissen entsprechende. 
Ist m=+4, so heissen die Formen 
eigentlich äquivalent, ist u = — 1 uneigent 
lich; es ist also im erstem Falle D' = D, 
im letztem D r - —D. 
Führt eine Substitution von 
ax 2 +2bxy + cy 2 
auf die Form 
ax l 2 +2bx l y l +cy l 2 
so sagt man, sie führe die Form auf 
sich selbst zurück. 
3) Wenn zwei Formen einer 
dritten äquivalent sind, so sind 
alle drei äquivalent. — Dieser 
Satz folgt leicht aus folgenden Betrach 
tungen. Seien: 
1) ax 2 -\-%bxy-\-cy 2 
2) a l x l 2 +2b i x i y l +c l y i 2 
3) (t 2% 2^ 2 a 2iJ 2 ^ 2V 2^ 
die drei Formen. Die Substitution, durch 
welche die erste in die zweite übergeht, 
sei: 
4) * = <0:!+^, y~yx, + dy, 
und die, durch welche die zweite in die 
dritte übergeht 
5) x l = a l x 2 -{-ß l y i , y l =y l x i + d l y 2 
Setzt man die Werthe von „r, und y v 
aus Formel 4 in 5 ein, so hat man eine 
lineäre Substitution, die von 1 zu 5 führt. 
Sind ausserdem D, D v , D 2 die Determi- 
minanten von 1, 2, 3, so ist, wenn 1 mit 
2 äquivalent ist 
D = ±D 
und wenn 2 mit 3 äquivalent ist 
D | = +D 2 
d. h. 1 und 3 sind ebenfalls äquivalent. 
Diese Aequivalenz ist eine eigentliche, 
wenn die Aequivalenzen von 1 und 2 
und 2 und 3 gleichartig (eigentlich oder 
uneigentlich) sind, im andern Falle ist 
die Aequivalenz von 1 und 3 ungleich 
artig. 
Die Ausdrücke, die wir in Abschnitt 
1)’für a', 5', c' hingeschrieben hatten, zei 
gen, dass in den Formen 1 und 2 die 
gemeinschaftlichen Theiler von a, 5, c 
auch solche von b', c' sind. Da im 
Falle der Aequivalenz, wo a, b, c auf 
ähnliche Weise aus a’, b', c' entstehen, 
dieser Satz sich auch umkehren lässt, 
so folgt: — „dass der grösste gemein 
schaftliche Theiler von a, b, c auch der 
grösste von a l ,i 1 , c, ist.“ Multiplicirt 
man den Ausdruck für h in Abschnitt 
1) noch mit 2, so sieht man, dass Glei 
ches auch für a, 25, c und a„ 25 1 , c t 
gilt. — Nehmen wir jedoch an, dass 
a, 5, c keinen gemeinschaftlichen Factor 
haben, d. h. wenn ein solcher vorhanden 
ist, dividiren wir durch denselben. Es 
ist also hierbei nicht ausgeschlossen, 
dass a, 25, c noch den Factor 2 gemein 
haben. 
4) Wir wollen jetzt ermitteln, wie alle 
gleichartigen Substitutionen gefunden 
werden können, die von einer Form zu 
einer gegebenen aequivalenten führen. — 
Die Formen seien: 
1) f («, b, 
worunter die . 
vorigen Abschr 
Substitution, \ 
wird bezeichne 
3 ) \y, £(• 
Nun lässt sich 
4) P’ H alle 
K el 
stitutionen 
che f (a, 5, c) 
geht und m: 
stitutionen 
nirt, also 
«1 
immer einen M 
geben. 
Auch ist 
A 
weil die Substiti 
5) = 
Noch ist zu 
gend eine Subs 
f (a, 5, c) zu f ( 
IY, 
ad 
sind, da die S 
sein sollen, so : 
k 
also die Substi 
eigentliche. Al 
«LJ ß 
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stitution 
Weise aus 
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wenn man für )., 
5 nimmt. — S< 
welche f (a, 5, 
|A, [i\ 
übergeht, 
tution 
Ir. H in 
dieselbe Substitui 
in /■(«!, 5 t , c t ) 
nun, durch welch 
geht, kann volls 
nach Abschnitt 
auch durch letzt( 
af— a z a 
Setzt man aus 2