Quadraturen — Zurückf. auf. 523 Quadraturen — Zurückf. auf. 
beschränken müssen, wo A, B, C . . . S Functionen von x t , x t . . . x^, z und 
der partiellen Diffcrcnzialquotientcn von z bis einschliesslich zur s—1 ten Ord 
nung sind, eine Gleichung, die man symbolisch auch schreiben kann: 
JA , q, r. .. 
^ dx c<l dx (<7 dx ... 
= 0, 
wo 
«l + «2 + «S 
ist. 
Aber auch hierbei entbehren die an 
gewandten Methoden der Allgemein 
heit. 
Wir werden uns jetzt zunächst mit 
den Gleichungen erster Ordnung zu be 
schäftigen haben, und ehe wir die Me 
thoden zur Auflösung derselben geben, 
untersuchen, welchen Transformationen 
dieselben unterliegen, und welches die 
Natur ihrer Integrale sei. 
2) Allgemeines über die Glei 
chungen erster Ordnung und 
ihre Integrale. 
Da in den partiellen Gleichungen von 
beliebiger Ordnung die Differenzialquo 
tienten einer Variablen z nach den an 
dern Variablen x L , x t . . . x^ genom 
men, enthalten sind, so wird offenbar 
als Integral eine Gleichung gefordert, 
welche z als Function von ® l , x 2 . . . 
x gibt. 
n ° 
Im Wesen einer partiellen Differen 
zialgleichung liegt es also, dass sie nur 
ein Integral habe, wenn sie, wie hier 
f{x „ or 2 . . . x n z 
-f- • . . ~ s 
angenommen, nur eine abhängige Varia 
ble enthält. 
Es muss aber gezeigt werden, dass 
auch wirklich jede partielle Differenzial 
gleichung ein solches Integral habe und 
wie dasselbe beschaffen, d. h. wie viel 
Constanten oder sonstige willkürlich zu 
bestimmende Grössen in demselben ent 
halten seien. 
Wir thun dies an dieser Stelle für die 
Gleichungen erster Ordnung. 
Sei 
F(x lf x 2 . . . x n , 2) — 0 
eine beliebige Gleichung, welche noch 
ausser den Variablen eine Anzahl Con 
stanten enthält, so kann man dieselbe 
nach x t , x 2 . .* . x n differenziiren, und 
erhält auf diese Weise noch n, also im 
Ganzen n-\-1 Gleichungen, aus denen 
man n Constanten eliminiren kann , um 
schliesslich zu einer Gleichung zu gelan 
gen, welche ausser ar,, x 2 ... x , z 
, dz dz dz , „ 
noch -r—■, t— . . . t— enthalt, 
cur, 0x 2 dx 
1 1 11 
Sei: 
dz dz dz 
dx.’ dx~ ’ ’ dx J 
12 n 
diese Gleichung, so kann f eine ganz 
beliebige Form haben, wenn F nicht 
näher besrimmt ist, und man sieht da 
her: „dass jede partielle Differenzial 
gleichung erster Ordnung f—0 ein In 
tegral F= 0 hat, welches n willkürliche 
Constanten a„ a 2 . . . a , also soviel 
enthält, als die Differenzialgleichung ab 
hängige Variable hat.“ 
Dieses Integral wird das vollständige 
genannt. Man kann aus demselben be 
liebige partikuläre Integrale gewinnen, 
wenn man den Constanten beliebige 
hT =(f * • ' *«’ 
n 
Werthe gibt. — Indessen haben die par 
tiellen Differenzialgleichungen noch In 
tegrale von einem ganz verschiedenen 
Charakter, welche statt der willkürlichen 
Constanten willkürliche Functionen der 
Variablen enthalten. 
Ein solches Integral heisst allgemei 
nes, und offenbar ist es wirklich von 
allgemeinerer Art als das vollständige 
Integral. Vom Dasein eines solchen all 
gemeinen Integrals aber überzeugen wir 
uns durch folgende Schlüsse. 
Schreiben wir zunächst die gegebene 
Differenzialgleichung unter der Form: 
dz dz dz . 
s> —, s— • • • j h 
ox, oxox 
1 1 11 — 1 
und geben der Grösse x die continuirlich auf einander folgenden Werthe; 
s— 1’