Quadraturen — Zurückf. auf. 524 Quadraturen — Zurückf. auf. 
welchen die Werthe von z: 
bezüglich entsprechen sollen. Diese Werthe, z 0 , z, . . . z _ von denen wir 
übrigens voraussetzen müssen, dass sie ebenfalls continuirlich aus einander her 
vorgehen, weil dies der Begriff des Differenziirens fordert, sind also noch Functio 
nen von x., x 2 . . . x . Es ist aber: 
1 2 n— i 
r— 1 
/• r — i 
r r— 1 
wo 2^,2^ j, « , « beliebige auf einander folgende Glieder der entsprechen 
den Reihen sind. 
Unsere gegebene^ Gleichung stellt] also folgendes recurrente System dar: 
Z l — 2 0 +( ß l — K o) 7 X 2 • ' • X n _\l 2 0> fiZT • • • fo. )» 
1 n—1 
. / N / dz , dz. 
2 J— Z J+( a 2 — x 2 • ’ • X n | ’ a 11 2 l> foT • • ■ ) 
1 /1— 1 
z — z .4-(« — ß .Vi f#., #, 
s s— 1 1 v s s— 1/ f K •’ 2 
dz. 
dz 
n-l> “s- 1’ l’ dx, "‘dx 
n— 1 
Aus der ersten Gleichung kann man z t bestimmen, wenn man z 0 , also auch die 
Differenzialquotienten dieser Grösse als Functionen von x v , x 2 . . . x n _y kennt. 
Die Differenzialquotienten von z, ergeben sich dann durch Differenziiren dieser 
Gleichung. Die zweite Gleichung gibt z 2 und enthält keine weitere Willkürlich- 
keit, und so kann man allmälig bis zu z, g gelangen; die Grössen « 0 , . . . « s _ ( 
sind folglich beliebige, aber continuirlich auf einander folgende Grössen. Für z 0 
ist also keine weitere Bestimmung gegeben, und somit kann diese Grösse eine 
ganz willkürliche Function von n~ 1 Variablen x t , x 2 . . . x n _ { sein, die je 
doch den Gesetzen des Differenziirens gemäss so genommen werden muss, dass 
z auf dem ganzen Integrationswege durch keine Discontinuität geführt wird, 
„Das allgemeine Integral enthält also eine willkürliche Function mit einer 
Variablen weniger, als die Anzahl der unabhängigen Variablen beträgt.“ 
Man kann auch setzen: 
z s = 2 o+(«i-«o) l '/ , o + ( ( *a-«i)'/'i+ • • • l)7 s _ ,> 
wo unter w, N verstanden ist der Ausdruck: 
f \r) 
dz dz 
y (* 1 ’ * • • X n-1’ “r* V dZ • • • di ■)» 
1 n—1 
oder symbolisch: 
r a s r a s 
Z = Z 0+I = X 2 * * ■ X n _ 1 ) + I <f 
■ 7 «n W ‘ ß Un 
da . 
r r 
In diesem als Grenze einer Summe zu betrachtenden Integrale ist also Alles bis 
auf die willkürliche Function ip, welche für z 0 gesetzt wird, bestimmt. Für z^ 
ist 2 gesetzt. Die Function \p aber kommt unter dem Quadraturzeichen f selbst 
vor. Sonach gilt von diesem allgemeinen Integrale 2 dasselbe, was überhaupt 
über die Eigenschaften der durch Quadraturen definirten Functionen galt (siehe den