Quadraturen — Zurückf. auf. 526 Quadraturen — Zurückf. auf.
<5rt. da da. ’ drt, da da, da
1 n 1 2 n 2 1
dF dF
r j—
Aus diesen n—1 Gleichungen aber kann man die n—1 Grössen a„ a. x . . . « (
bestimmen, und die Gleichung .2), wo t/- eine völlig willkürliche Function ist,
gibt dann a^. Setzt man alles dies in die Gleichung 0 ein, so hat man offen
bar ein Integral der Gleichung f—0, da die letztere durch Differenziiren der erste-
ren, und Eliminiren der Grössen a., a, ... a , entstanden ist. Dies Inte-
1 n— l
gral enthält aber eine willkürliche Function von n—1 Variablen und ist also das
allgemeine Integral.
Im Uebrigen kann man noch andere Arten von Integralen der Gleichung
f—0 ableiten, welche ebenfalls willkürliche Functionen enthalten, die jedoch von
einem weniger allgemeinen Charakter sind, als das eben gefundene. Alle diese
Integrale aber sind gegeben, wenn man das vollständige Integral kennt. Nehmen
wir nämlich wieder an, die a seien Functionen der Variablen x, statt der Bezie
hung 3) aber seien die folgenden gegeben:
wo die xfj willkürliche Functionen, jedoch nur von r Variablen sind. Die Zahl
r kann jeden Werth von r — 1 bis r— n—1 annehmen. Die Differenzialquotien
ten von F=0 werden dann :
+ dF da n\ da,
6)
da da,/ dx
n 2 s
n 2 s
dF dF <)a r
da da , , di
r r4-1
r+ I
= 0,
und diese Gleichungen stimmen wieder ganz mit den Gleichungen 1) überein,
wenn man setzt:
7)
d F ,)a n
da da
n r
Die Anzahl der Gleichungen 5) und 7) ist offenbar zusammen gleich n; sie reichen
also zur Bestimmung der Grössen a v a 2 ... hin, welche man in die Glei
chung F =.0 einsetzt. Diese gibt somit ein Integral, welches n—r willkürliche
Functionen mit r Variablen enthält.
Da r jeden Werth von r— 1 bis r — n—1 annehmen kann, wo der letzte Fall
dem allgemeinen Integrale entspricht, so hat man n — 1 Klassen von Integralen,
welche willkürliche Functionen enthalten, und zwar entsprechend, n — 1 willkür
liche Functionen mit einer Variable, n—2 mit zwei Variablen u. s. f., endlich eine
mit n—1 Variablen.
