Quadraturen — Zurückf. auf. 545 Quadraturen — Zurückf. auf. 
so ergibt sich: 
Da in diesen Gleichungen z nicht vorhanden ist, so reducirt sich das System ge 
gen den allgemeinem Fall um eine Ordnung, da die 2 entsprechende Gleichung 
zunächst nicht zu berücksichtigen ist. Nach Vollendung der Integration ergibt 
sich dann 5 durch Quadratur vermöge der Gleichung: 
s=n s=n df 
dz= f P a ** t = * P s ¿¿-dl. 
also: 
es kommt 2 also nur als Index vor. Die Formel 6) des vorigen Abschnittes 
nimmt die Gestalt an: 
3) 
(die Constante A ist nämlich immer gleich 1, wenn man statt p. den Ausdruck 
einführt). In diesem Falle, auf den sich, wie wir sahen, jede partielle 
Differenzialgleichung zurückführen lässt, kommt also der Index A nicht vor. — 
Ist also i-r—M weder einer Zahl gleich, noch auch eine Folge der Gleichungen: 
u.~c 
so ist dieser Ausdruck ein drittes Integral der partiellen Differenzialgleichung, und 
man hat weder die Kenntniss des Index A nöthig, noch braucht man denselben 
nach Klebsch’s Methode zu eliminiren. 
11) Behandlung der mechanischen Gleichungen. — Anwen 
dung der Variation der Constanten auf dieselben. 
Wir wollen noch den bereits erwähnten Zusammenhang der im letzten Ab 
schnitte behandelten Gleichung : 
*2 • • • « 1 V~ 
1) 
mit den mechanischen und den in der Variationsrechnung vorkommenden berüh 
ren. Dieser Zusammenhang besteht darin, dass die letzterwähnten Gleichungen 
sich immer auf das System 2) und 2a) des vorigen Abschnittes bringen lassen. 
Ihre Integrale, an Anzahl 2n — 1, sind also auch Integrale der Gleichung: 
dz—p l dx i —p 2 dx i . . —pdx^ — 0, 
wo p n durch Gleichung 1) gegeben ist. 
Offenbar lassen sich, wenn man ein vollständiges Integral der Gleichung 1) 
hat, auch die letzteren 2m—l Integrale finden. Sei nämlich : 
3) 
z = a +f (xx 2 . . . x , a., a, ... a ,) = F 
n ' v 2 m’ 15 1 n—1' 
das vollständige Integral, « a ... die Integrationsconstanten. Dass dasselbe 
die Form 3) haben muss, folgt daraus, dass, wenn man den Werth von 2 um 
eine Constante vermehrt und diesen in 1 einsetzt, diese Gleichung unverändert 
bleibt, so dass nothwendig eine Constante cc n zu der Function addirt sein muss. 
Ferner ist offenbar: 
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