Quadraturen — Zuriickf. auf. 551 Quadraturen —* Zurückf. auf. 
gegeben worden. Dieselbe enthält je 
doch durchaus nicht die so reichhaltigen 
Resultate der Jakohi’sehen. (Comptes ren- 
dus de l’academie des Sciences de Paris.) 
Auf ihrem jetzigen Standpunkte bildet 
die Theorie der partiellen Differenzial 
gleichungen erster Ordnung einen der 
schönsten, vollständigsten und abge 
schlossensten Theile der Analysis. Vie 
les fehlt, dass man Gleiches auch von 
den partiellen Differenzialgleichungen hö 
herer Ordnung sagen könnte. 
13) Allgemeines über die par 
tiellen Differenzialgleichungen 
höherer Ordnung. 
Auch die partiellen Differenzialglei 
chungen höherer Ordnung können Inte 
grale von ganz verschiedener Art haben, 
und namentlich sind hierbei vollständige 
und allgemeine Integrale zu unterschei 
den. Betrachten wir z. B. eine Function 
von der Gestalt: 
f ( x l, x 2 • ’ ’ 2 ) — 
welche eine Anzahl Constanten enthalten 
soll. Diese Gleichung hat n Differen- 
n(n-\-l) 
zialgleichungen erster Ordnung, —^ ^ 
• /-.i m (w-f-1) (it-t-2) j ... 
zweiter Ordnung, 1~2 3 dritter 
Ordnungu. s. w., also (ti+p—1) pter Ord 
nung, wenn n der pte Binomialcoefficient 
ist. — Bildet man alle diese Gleichungen, 
so hat man, die gegebene mit inbegriffen, 
deren; 
l+ n i+ (tt+lOzH - ( n +2) 3 + . . . 
-\-{n+p-l) p , 
aus denen sich also: 
« l +(«+l) a + • • • + {n+p-V) p 
Constanten derart eliminiren lassen, dass 
man noch eine partielle Differenzialglei 
chung pter Ordnung behält, deren Inte 
gral die gegebene Gleichung ist. Es 
folgt hieraus der Satz: 
„Eine partielle Differenzialgleichung 
pter Ordnung mit n unabhängigen Va 
riablen hat ein vollständiges Integral mit 
«1+(n+l) a + ( n +2) 3 + ...+(«4-p—-1) 
willkürlichen Constanten.“ 
Z. B. bei einer Gleichung zweiter Ord 
nung ist die Anzahl dieser Constanten; 
n(n+l) n (n+3) 
n+ 2 — — 2 ' 
Was die allgemeinen Integrale anbe 
trifft, so kann man sich von ihrem Vor 
handensein auf ganz ähnliche Weise wie 
bei den Gleichungen erster Ordnung 
überzeugen. Zu dem Ende wollen wir 
jedoch zunächst die allgemeine Form der 
partiellen Differenzialgleichungen einer 
Transformation unterziehen. 
Bezeichnen wir zunächst durch das 
Symbol: 
['/(*» V z s )] 
eine Function von x, x v , x 2 ... x , 
z t , 2, . . . und den Differenzial- 
quotienten von z L , z 2 . . . z nach 
x., x~ . . . x , aber nicht nach x. ohne 
dass über die Ordnung dieser Differen 
zialquotienten etwas vorgeschrieben sein 
soll, und betrachten wir die simultanen 
Gleichungen: 
i) ^=[r.(». 
Ö2 J_r / 
d7V 
dx 
Seien nun; 
. 00 
= [7.(*» » » Ol 
io , « 
0*0 
p ' v ' V V 
continuirlich auf einander folgende Werthe 
einer der mit z bezeichneten Grössen z^, 
und mögen diese der continuirlichen Reihe 
von Werthen der Grösse x: 
*00 «(■) *(*) 
entsprechen, so hat man, während x L , 
x. ... x willkürlich bleiben: 
* n 
[7p 
* i0 = * (')+(*(')—a-’C 1 ) ) [7 p 
VP ” 
{x^x , 
' n 
. (1) 
(* V X rP 
* s (0) )], 
a) 
*>)