Quadraturen — Zurückf. auf. 553 Quadraturen —• Zurückf. auf. 
(°*\ =x Ìt, 
\dy/ dx j 
Die eingeklammerten Differenzialquotienten deuten hier das Differenziiren nach 
dem durch die Gleichung x t =:xy eingeführten Gesetze an. Es ist ferner: 
also : 
fiü.'\ = ,_ 
\dxdy) Ò 
ià"z\ _ d*z . d ì z 
\dx 2 ) dx* ^ dxdx/^^ 
/ <52 2\_ « a 2 
Òx» 
d*z d*z dz 
dxdx, ^~ X y dxi 2 dx/ 
d*z 
dz 
dx. 
d*; 
dxdx 
-=U¥). 
, x \oy/ 
dz /dz\ y (dz\ 
dx \dx/ x \dyr 
_ 1 / d 2 z \ y /ò 2 z\ 1 /^2\ 
t x \dxdy/ x 2 \dy*J x* \dy) 
Wenn man diese Ausdrücke in die obige 
Gleichung einsetzt, so enthält dieselbe 
id*z\ 
I - j, ist also nach der oben gegebenen 
Methode zu behandeln. — Indessen kann 
man sich einer directen Betrachtung der 
Differenzialgleichungen dieser Art doch 
nicht ganz entschlagen. 
Durch eine Transformation der unab 
hängigen Variablen wird nämlich die 
Natur der behandelten Gleichung oft der 
art behandelt, dass das Integral als ein 
ganz anderes erscheint, wie es denn eine 
höchst schwierige Aufgabe ist, die will 
kürlichen Functionen, welche der einen 
Wahl der Variablen entsprechen, auf 
diejenigen zurückzuführen, welche bei 
einer andern Wahl sich ergeben. Fast 
immer ist es in solchen Fällen gerate 
ner, die Integration in beiden Fällen von 
einander unabhängig zu bewerkstelligen. 
d* z 
In den Anwendungen auf Geometrie 
und Physik kommen dergleichen Fälle 
oft vor. Die willkürlichen Functionen 
stehen nämlich mit den Anfangszustän 
den oder Grenzbedingungen des behan 
delten Problems in Verbindung, und diese 
bestimmen wieder die Wahl der unab 
hängigen Variablen, so dass deren Aus 
wahl eine gebotene ist, je nachdem das 
Problem sich modificirt. Man erhält auf 
diese Weise allgemeine Integrale von der 
verschiedensten Form, und ihre Bezie 
hung zu einander wird eben nur durch 
die partielle Differenzialgleichung, wel 
cher sie alle genügen, vermittelt. 
Einiges über den Gegenstand enthält 
dieser Artikel, ein Mehreres sollen na 
mentlich die Artikel: Akustik und Wärme 
bringen. 
Unterziehen wir also die Gleichung: 
dz dz 
dxdx t ^ X ’ *’ dx’ dx/ 
noch einer directen Behandlung. Es seien: 
* (0) * (l) * (2) 3 (0 
eine Reihe von Werthen der Variablen x lf welche continuirlich auf einander 
folgen, 
.(»), *(’>, ,.. .(<) 
die zugehörigen ebenfalls continuirlichen Werthe von s, die somit sämmtlich Func 
tionen von x allein sind. Man hat nun: 
d* d* (I) (o)’ 
X,' ' — X, K •