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m 
Quadraturen — Zurückf. auf. 
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dx 
r(0 
dx 
-+ (a; t 
( 2 ). 
Quadraturen 
(0 
Zurückf. auf. 
«(*).(■) 
(5a; ’ 
,(0,(*-0 
(0_r (<-')' 
). 
Bestimmt man in der ersten Gleichung 
.(0) 
— = ( (.r a a 
als willkürliche Function von x, so dx ^ ’ l ’ cty'’ 
bildet diese Gleichung eine totale Diffe- g0 enthält das Integral zwei willkürliche 
renzialgleichung erster Ordnung, deren Functionen. Setzt man dagegen; 
A ' sind. Setzt dz . dz d*r 
veränderliche x und 
dy 
= ^(*. Jf. *> 
dx’ da; 1 
). 
man den durch sie bestimmten Werth 
von in die zweite Gleichung ein, so s0 ist die Gleichung nach y erster Ord- 
hestimmt diese in gleicher Weise v 2 ' nung und enthält also nur eine willkür- 
und so fort. Man hat also ein System liehe Function. 
von t totalen Differenzialgleichungen Ob und wann die beiden im ersten 
erster Ordnung, deren Integrale jedes Falle gegebenen willkürlichen Functionen 
eine Constante enthalten. Es ist aber sich in eine zusammenziehen, soll hier 
t unendlich gross, und folglich enthält n i c ht erörtert werden, 
das Integral unserer partiellen Differen 
zialgleichung zweiter Ordnung ausser 14) E r ste Int egr atlonsm ethode. 
einer willkürlichen Function » 0 <°) mit . Am leichtesten zu integriren sind die- 
einer Variablen noch unendlich viel Con- jemgen partiellen Differenzialgleichungen, 
stanten. welche nur Diüerenzialquotienten nach 
einer Variable x genommen, enthalten. 
Aehnlichen Betrachtungen unterliegen offenbar sind dann bei der Integration 
die Differenzialgleichungen von beliebig die übr ig e n unabhängigen Variablen 
hohem Grade. . . . als Constanten zu betrachten. 
Es bleibt übrigens auch bei den all- Die Rechnung beschränkt sich also auf 
gemeinen partiellen Differenzialgleichun- die Integration einer totalen Differen- 
gen nter Ordnung der Fall nicht ausge- zialgleichung. Die eingehenden Integra- 
schlossen, dass von den darin vorkom- tionsconstanten aber sind willkürliche 
menden n willkürlichen Functionen sich Functionen der Variablen 
einige vermöge ihrer Form in eine zu- da diese als constant betrachtet wurden, 
sammenziehen lassen, so dass sich das Beispiele. Sei gegeben- 
Integral auf ein anderes mit weniger als 
n willkürlichen Functionen ergibt. Auch 
kann man einer Gleichung, je nach der 
Art des Integrirens, mehr oder weniger 
willkürliche Functionen geben. 
Betrachten wir z. B. die Gleichung: 
dz dz d'*z. _ 
/<*• »> s - & T y ’ s-. )=0 ’ 
und bringen wir diese auf die Form: 
d 2 z dz dz 
W' = »'<*> * *' ä? 
oder auf die des Systems: 
dz_„ 
dx~ Z ' ’ 
— = *>, y\ 
dx n 
so erhält man: 
2= U+ U l x + U 2 x 2 -f . 
n— 1 
+ U n _, x +'/(*> y), 
'/ Oh V) = f'J'J' • • • F(xy)dx n 
und; 
u, u t , u t 
u 
n— l 
willkürliche Functionen von y sind.