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Quadraturen — Zurückf. auf. 555 Quadraturen — Zurückf. auf. 
Sei ferner gegeben: 
wo P und Q Functionen von x und y allein sind. 
Setzt man: 
dz 
dx~ V ’ 
so hat man: 
du 
- + Pl5= Q, 
öy 
eine Gleichung, die sich leicht integriren lässt, da sie linear ist. Man erhält: 
e= e ~fPdy [f J Pd VQdy+CJ. 
Für C ist eine willkürliche Function von x, y (x) zu nehmen. Man hat also: 
y = ,-/"«r[y^ w+TW ]. 
also indem man abermals integrirt, und als Integrationsconstante eine beliebige 
Function von y nimmt: 
z=J‘dxe~f Pd y U e f P<l 'JQdy + y 0)J +1p (y\ 
Im Falle die Gleichung nicht von der angegebenen Art ist, so lässt sie sich zu 
weilen durch Transformation auf dieselbe bringen. Sei z. B. gegeben; 
d 2 z o J z 2 dz 
dx 2 dy 2 x dx 
Wir setzen zunächst: 
und erhalten: 
w = x+y, 
■X — y, 
dz dz dz 
dx du du 
d 2 z 
d 2 z 
d 2 x 
dx 2 
— L 2 
du 2 dudv 
d 2 z 
d 2 z 
d 2 z 
dy 2 
2 
du 2 dudv 
also wenn man diese Werthe in die gegebene Gleichung einsetzt, wird diese: 
d 2 z dz dz 
(m+ v) < < - — s h t“ ■ 
dudv ou ov 
Differenziiren wir diese Gleichung nochmals nach u, so kommt: 
(u -f- v) 
d 2 z 
du 2 dv du 2 
und wenn man diese Gleichung nach v differenziirt: 
d 4 z „ , , d 4 s 
(w -f- i>) 
du 2 du 
- = 0, d. h.: 
du 2 dv 2 
=o. 
Setzen wir zunächst: 
so ist: 
dudv