Quadraturen — Zurückf. auf. 558 Quadraturen — Zurückf. auf. 
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wo A, B, C, f Functionen von x, y, z, —, — sind. — Wir entwickeln die Re 
sultate seiner Betrachtungen in einer Weise, die sich den für die partiellen Diffe 
renzialgleichungen erster Ordnung hier gebrauchten Betrachtungen insofern an- 
schliesst, als wir auch die partiellen Differenzialgleichungen höherer Ordnung un 
ter die Form der totalen bringen. 
Zunächst setzen wir der Kürze wegen: 
dz dz 
d s s d i z d' 2 z 
dx 2 V ' dxdy S ’ dy' 2 
dann ist: 
2) 
3) 
4) 
dz=p dx + qdy. 
dq —s dx-\- tdy, 
dp = r dx-^-s dy, 
Ar-\-B s-f- C t = s. 
Das System 2), 3), 4) ist der Gleichung 1) vollständig identisch. Mittels 4) 
lässt sich t aus der zweiten Gleichung 3) eliminiren. Die drei Gleichungen 2) 
und 3) enthalten dann nur noch die Yariablen x, y. z, p, q, r, s. 
Die zweite Gleichung 3) multipliciren wir mit einer unbekannten Grösse k 
und addiren sie zur ersten. Wir erhalten: 
5) dp—rdx—sdy-\-kdq — ksdx — ktdy — 0. 
Die Relation 2) beschränkt aber die in dieser Gleichung enthaltenen Grössen. 
Wir wollen diese Relation, sowie die Gleichung 4) als bestehend annehmen , vor 
der Hand aber davon ahsehen, dass die Relation 5) stattfinde, und den links in 
dieser letzten Gleichung enthaltenen Ausdruck einer identischen Transformation 
unterziehen. Um anzudeuten, dass wir von der Relation 5) ahsehen, ersetzen wir 
wieder die Differenziale dp, dq, dx, dy durch dp, dq, dx, dy. Es ist nun we 
gen 4): 
dp — rdx—sdy + kdq — ksdx — ktdy — dp — rdx—sdy-^-kdq — ksdx—^jdy^s—Ar — Bs), 
Wenn man hierin die mit r und s multiplicirten Glieder besonders schreibt, er 
hält man: 
6) dp—rdx—s dy-\-k{dq—sdx — tdy) — dp+kcly —77 <%+ 77- (— Cdx -f- A köy) 
+ -(-Cdy-Ckdx + BkSy), 
wo die hierin enthaltenen Grössen noch verbunden sind durch die Gleichung: 
dz~p dx q dy. 
Wir setzen nun: 
— Cdx-\-A k dy~ A(«), 
— Cdy — C kdx B k dy = A(r), 
wo A(«), A(c) eben nur Abkürzungen sind und keineswegs vollständige Diffe 
renziale andeuten sollen. 
Multiplicirt man die erste Gleichung mit >1 und zieht die zweite von ihr ab, 
so erhält man: 
{A A 5 — Bk+C) dy= A(v) — k A(m). 
Die Grösse k war bisher willkürlich. Wir bestimmen sie jetzt, indem wir setzen: 
8) Ak 1 —Bk+ C = 0. 
Es gibt also im Allgemeinen 2 Werthe und k 2 , welche dieser Gleichung genü 
gen, und welche bewirken, dass: