Quadraturen — Zurückf. auf. 559 Quadraturen — Zurückf. auf. 
wird. Es ist dann also nach 6): 
9) dp—r dx — s dy-\-l{Sq — s dx — tdy) = dp+A dq — ^ dy + —Xdy — Cdx), 
eine Gleichung, welche in 2 andere zerfällt, wenn man für A sowohl A a als A a 
setzt. 
Setzen wir zunächst voraus, dass A t nicht = A 2 sei. so ist offenbar, damit 
die Gleichungen 3) erfüllt werden, d. h. damit man habe: 
dp — r 8x—s dy — 0, 
und: 
öq—s dx—t dy — 0, 
nothwendig und ausreichend, dass auch die rechte Seite der Gleichung 9) fürA^Aj 
und A = A„ Null gebe. Es fragt sich, wann und in welcher Weise dies in so all 
gemeiner Weise sich erreichen lässt, dass man das allgemeine Integral erhält. 
Die Gleichung 9) schreiben wir mit Berücksichtigung von: 
auch folgendermaassen, je nachdem wir A = A n oder A = A a setzen: 
10) dp—rdx—s tfj/ + A l {dq—söx — t dy)= «fp-fA, dq—^jydy 
+ ***** (dy-X^dx), 
10 a) dp—r dx — s ö'yd-i. i (dq — s dx — t dy) = dp+ A a dq—^~ dy 
+ r+ A* s (jy—A t dx). 
Nehmen wir nun an, es liesse sich aus den beiden Gleichungen : 
€ X 
dp-\-X t dq dy — 0, dy—X 2 dx = 0, 
nötigenfalls in Verbindung mit Gleichung 2), wo die linken Seiten r und s nicht 
enthalten, zwei Integrale gewinnen von der Gestalt: 
u — c, v = e, 
so ist offenbar: 
dp-j-A t dq—^-~ dy=m du+ndv, dy — X 2 dx = pdu+y dv, 
und man hat : 
11) dp — rdx—s dy + X l {dq — s dx — t dy) = M du-\-N dv, 
wo die Grössen M und N noch r und s enthalten. 
Es ist aber das Vorhandensein dieser beiden Integrale an eine Integrabili- 
tätsbedingung geknüpft, da die drei Gleichungen: 
dz=p dx~\-q dy, dp + X^dqzzQ, dy — X 2 dx~0 
nicht 4 Variable, wie dies der Fall sein muss, wenn immer 3 Integrale möglich 
sein sollen, sondern deren 5, x, y, z, p, q enthalten. 
Diese Bemerkung beschränkt die allgemeine Gültigkeit dieser Methode. 
Finde nun Aehnliches auch bei der Gleichung 10a) statt, und seien m, , v L 
die entsprechenden Integrale, so dass man hat: 
lia) dp—r dx—s dy -\-X 2 {dq — s dx—tdy) = M L du t N L dv lt 
so werden die i - echten Seiten gleich Null, wenn man u, v, u l7 v t gleich Constan- 
ten setzt. Indess führt diese Bestimmung nicht zu dem allgemeinen Integrale, 
da durch diese Gleichung y, s, p, q als Functionen von x gegeben sein würden, 
während doch z, p, q als Functionen von x und y sich ergeben müssen. Nimmt 
man aber an :