Quadraturen — Zurückf. auf. 560 Quadraturen — Zurückf. auf. 
12) « = ?'(«), ».=^(«1), 
wo (f und xp willkürliche Functionen be 
deuten, und setzt: 
M+AV(m) = 0, 
so verschwinden ebenfalls die rechten 
Seiten. Die zuletzt geschriebenen bei 
den Gleichungen dienen zur Bestimmung 
von r und s kommen also nicht weiter 
in Betracht, die Gleichungen 12) lösen 
das Problem völlig. Man entwickelt aus 
dz dz 
ihnen —~—n und —=0, und erhält 
ax oy 
eine Gleichung von der Form: 
(h~pdx-\-q dy, 
wo p und q Functionen von x, y, z 
sind, die zwei willkürliche Functionen 
<4 und xp enthalten, und natürlich der 
Integrationsbedingung genügen müssen. 
Nach Auflösung dieser totalen Differen 
zialgleichung hat man den Werth von 2 
mit zwei willkürlichen Functionen, also 
das allgemeine Integral. 
Auch reicht eine der Gleichungen 12) 
zur völligen Integration hin. Da die 
selbe nämlich x, y, z, p, q enthält, so 
ist sie eine partielle Differenzialgleichung 
erster Ordnung, deren vollständiges In 
tegral man auf dem, Abschnitt 8) vor 
geschriebenen Wege vermitteln, und aus 
diesem das allgemeine ableiten kann. 
Die dritte und im Allgemeinen ein 
fachste Methode ist jedoch die, dass man 
verbindet die Gleichungen: 
13) v~q (u), u 3 — c, 
wo c eine Constante ist. Damit die Aus 
drücke rechts in Gleichung 11) und 11a) 
verschwinden, ist zu setzen: 
M+Nq'(u) = 0, N l = 0, 
welche Gleichungen r und s bestimmen, 
und daher nicht weiter in Betracht kom 
men. Es ist aber zu beachten, ob auch M, N 
und iV, wirklich rund s enthalten, oder ob 
durch die Bestimmung dieser Grössen 
nicht die Allgemeinheit der Gleichungen 
13) beschränkt wird; in letzterem Falle 
wäre dieses Verfahren nicht anzuwenden. 
Aus den Gleichungen 13) erhält man 
. dz dz , 
wieder —, -5-, also: 
ox oy 
dz=pdx -\-q dy, 
mit einer willkürlichen Function und 
einer Constante. Die Integration gibt 
eine zweite Constante, so dass man ein 
vollständiges Integral hat, aus dem sich 
das allgemeine ableiten lässt. Uebrigens 
ist diese Methode noch anzuwenden, wenn 
eine der beiden Gleichungen 10) oder 
10 a), z. B. die letztere, nicht sich auf 
die Form 11a) bringen lässt, sondern 
sich aus den Gleichungen dp + k 3 dq~ 0, 
dy—k l dx = 0 nur ein Integral ergibt. 
Immer nämlich ist dann der Ausdruck 
rechts in 11a) von der Form: 
M v <f (Mi)+A ! A(u,), 
wo A(®|) jedoch kein vollständiges Dif 
ferenzial ist. Dies hindert indessen nicht 
die oben gemachte Annahme: 
m, =c, A r 1 =0, 
wenn nur die Gleichung 11) die vorge 
schriebene Form hat. 
Was schliesslich den Fall anbetrifft, 
wo ist, so bleibt nur die zweite 
Methode der Integration übrig, da die 
Gleichung 11a) wegfällt, und ist demge 
mäss zu verfahren. 
In jedem Falle wird also die Integra 
tion unserer Gleichung: 
Ar+ßs-j-Ci = e 
reducirt auf die Systeme: 
I) dp 4-A, dq—~ dy = 0, 
dy—k 2 dx — 0. 
II) dp-\-k % d q-t^ dy = 0, 
dy—1 1 dx = 0, 
verbunden mit: dz—pdx—qdy — 0, wo 
und A 2 die Wurzeln der Gleichung: 
III) AP-Bk + C = 0 
vorstellen. — Der Fall, wo A^Aj ist, 
entspricht offenbar der Annahme: 
und fällt dann das eine der Systeme 
ganz weg, während das andere die Ge 
stalt hat: 
B 1 dq-\- 2 AB dp—4:tAdy=z0, 
Ady+B dx = 0. 
Die erste Gleichung nimmt auch mit 
Hülfe der zweiten die Form an: 
B dq-\- 2Adp—4i dx — 0. 
I) Sind A, B, C und « constant, so 
werden auch A t und A 2 Constanten sein. 
Das System I) gibt dann: 
1 1 ^ A i 
P+- A t ?—£-*/ = «, 
y—A„ x—ß, 
also: