Quadrat. Form (Zahlenlehre). 50 Quadrat. Form (Zahlenlehre). 
Quadrat. 1 
4“- 44) 
Da also D kein vollständiges Quadrat 
und nicht gleich Null ist, wie wir ange 
nommen haben (Abschnitt5), so müsste Der eben hingestellte Werth der Deter- 
ax+by = 0 und y = 0, d. h. x — y~ 0 
sein. Seien jetzt runds dieWerthevon 
x und y, die unsere Gleichung erfüllen, 
so dass wir setzen können; 
1) ar 2 -f-2Ars + cs 5 
1«> ß\ 
minante erfüllt offenbar die Congruenz: 
n s SDmodiH 
(siehe den Artikel: Quadratischer Rest 
und Zahlenlehre wegen der Bedeutung 
dieser Zeichen) — und hieraus folgt der 
Satz: „Wenn eine Zahl m durch eine 
rt • P • 1 * Ol T TT Cim CliiC UiXlLL 'Ul uu 
Sei \\ irgend eine Substitution, die A ’. , , .. , , , 
\y, 0\ ° ’ quadratische h orm ausgedruckt werden 
von f (ff, h, c) zu einer eigentlich äqui- kann, so dass die Unbekannten r und s 
valenten Form /(fl 1 ,6,,c l ) führt, so ist relative Primzahlen sind, so muss die 
Determinante dieser Form quadratischer 
Rest dieser Zahl in sein.“ 
Wegen des Werthes von b t in Ab 
schnitt 1) ist aber auch 
6) n = ffi'p-f-.6(rö-j-sp)-j-cs(j; 
in dieser Gleichung sind für p und a 
diejenigen Werthe zu nehmen, welche 
nach Abschnitt 1) 
= an 1 ■\-2bKY+cy 2 . 
Wenn also der erste Coefficient dieser 
'äquivalenten Form 
a^—ni 
ist, so wird : 
2) m — aci' 1 +2bny-\-cy 
und die Substitution hat den Ausdruck 
3) N. 
und es ist nach Gleichung 1) zu setzen die unbestimmte Gleichung 4) ra — sp=l 
erfüllen. 
Sind nun p 0 , <r 0 irgend ein Paar zu 
sammengehöriger Wurzeln dieser Glei 
chung, so ist allgemein: 
wo p = p 0 -)-ri, ö = <r 9 -f-si, 
4) ra — Qs = 1 wo t eine beliebige ganze Zahl ist. Es 
ist, <r und p aber unendlich viel Werthe folgt dies aus den Elementen der Theo- 
annehmen können. rie der unbestimmten Gleichungen. Diese 
Sei f (in, n, p) der Ausdruck für die Werthe in 6) eingesetzt zeigen aber, 
Form, in welche 1) auf diese Weise dass 
übergeht, so ist wegen der Aequivalenz n = n 0 -\-int 
5) n^—mp — D; ist, wo n 0 der p 0 und ff 0 entsprechende 
der Ausdruck für die neue Form also Werth von n ist. Es ergibt sich näm- 
auch lieh zunächst 
n~ rt/ , p 0 -j-Ä(/ , ff 0 -|-sp 0 )4-csff 0 -|-/'(ffr s -f-Zo-s-|-cs ), 
was mit Hülfe der Gleichung 1) zu dem 
obigen allgemeinen Werthe von n führt. 
Es ist also immer: 
n E n 0 modni, 
was auch p und ff für Werthe haben 
mögen. 
8) Nach dem im vorigen Abschnitte 
Gesagten lässt sich die Aufgabe, eine 
gegebene Zahl m durch eine gegebene 
quadratische Form auszudrücken, auf die 
andre Aufgabe zurückführen, zu einer 
Form alle ihr eigentlich aequivalenten 
Formen zu finden, worin der Coefficient 
des ersten Gliedes gleich in ist. 
Jede Darstellung der Zahl m durch 
Form f(a, h, c) gehört dann zu einem 
Werthe von n, welcher die Gleichung 
n 2 —mp~D oder die Congruenz n 2 =D 
mod m erfüllt. Man kann also sagen, 
m entspreche einem Werthe n von der 
Quadratwurzel aus D für den Modul m. 
Um diesen Satz zu beweisen, bemerken wir 
zunächst, dass jede Darstellung von rn 
durch Form f(a, b, c) auch eine Form 
f{m, n, p) ergibt, die f(a, b, c) eigent 
lich äquivalent ist, denn solche Dar 
stellung gibt einen Werth von r und s. 
Nehmen wir nun die Gleichungen 4 des 
vorigen Abschnittes als bestehend an, so 
sind durch dieselbe p und a auf unendlich 
viel Arten zu bestimmen. Nach Ab 
schnitt 3 spricht die Gleichung 4) aber 
aus, dass die Determinante der aus 
f(a, h, c) durch die Substitution ’ 4 
' ^ J |s, ff| 
entstehenden Formen gleich der von 
f(a, h, c) ist, dass also eine eigentliche 
Aequivalenz stattfindet. 
Es ist indessen noch zu beweisen, dass 
wenn f {m, n, p) irgend eine mit 
f(a, b, c) eigentlich äquivalente Form 
ist, in immer durch f (a, h, c) darstell 
bar ist, dass jede Substitution 7 ’ 4 
|S) ffj 
die von f(a, b, c) zu f(in, n, p) führt, 
eine andre Darstellung von m gibt, wenn 
man x~r, y~s in die Form setzt, de 
ren jede zu einem Werthe von \ü mod«» 
gehört, dass endlich jede dieser Darstel 
lungen nur einmal vorkommt. 
Dieser Beweis ergibt sich aus folgen 
den Betrachtungen. Sind f(a, b, c) und 
f(m, 11, p) eig 
ten die Gleich 
rigen Abschn: 
sagt, dass in 
bar ist, Gleicl 
lung zu einen 
gehört. Kam 
2 Mal vor, so 
mit verschiede 
und s, was ui 
chungen 4) um 
s völlig bestim 
auch keine De 
für eine solche 
Gleichungen 4 
zunehmen sein 
p, ff und n füh 
Theile unsere 
Gleichungen e 
lieh äquivalent 
9) DieEntw: 
man aus einer 
von f(a, b, c) 
andern | f<1 ’ 4 
\y11 4 
selbe bewirken, 
von ]/D mod in 
Reihe von I 
Gruppe heissen 
den am Schlus 
gebenen Form« 
r, p, s, <r an 
zu schreiben. 
Wir machen 
nahmen: a, b. 
schaftlichen Fa« 
Abschnitt 6) oj 
meinschaftliche 
war, entweder 
und die Gleich 
die Gestalt an 
l 
oder 
t 
Ferner soll di 
Erste positiv s 
Ist co =1, s« 
aber kann al 
werden, weil 
ax 2 -\-‘2bxy-\-cy 
ohne dass das 
einen graden C 
Es ist aber: 
also