Quadraturen — Zurückf. auf. 570 Quadraturen — Zurückf. auf. 
Erhält man also durch Integration der ersten Gleichung; 
u = f(p, q) + a, 
wo sowohl die Function f als die Constante u noch von x, y, z abhängig ist, 
so wird auch sein: 
~-y- d (f)’ 
M' 
eine Gleichung, die nur integrabel ist, wenn — — einer Function von f gleich 
ist, die wir mit y/ (f) bezeichnen. 
Mithin hat man: 
v —'/ (f) + ß- 
In dieser Gleichung enthält nur f die Grössen p und y, also ist es unmöglich, 
aus den Werthcn von u und v, die man Constanten gleichsetzt, p und q abzu 
leiten. Selbstverständlich ist diese Beschränkung bei der Ampere’schen Gleichung 
aber nicht vorhanden. 
Beispiele. 
I) Sei gegeben; 
W 
a + q 2 ) r -2pqs + (l + p')t + - * + q ») i = ~ (1'+P' 1 + T 2 ) i ■ 
Die Gleichung zur Bestimmung von l ist hier: 
l*+2pql+0- + q*)0-+p*)-0-+p"-+q') = 0, 
oder: 
l* + 2pq l+p 2 q 2 =0, 
woraus sich ergibt: 
l~-pq. 
Da beide Wurzeln gleich sind, so findet die zuletzt gegebene Methode statt. 
Das System I) oder II) ist nun: 
A-pqdx + Q + q"*) dy = 0, 
Y(l+p 2 +q 2 ) 
dp 
V(1 +p 2 + q 2 ) 
Wir eliminiren dy und erhalten: 
pqdq — (). + q*)dp 
+ (1 -fyf 2 ) dx+p qdy- 0. 
d. h. 
y(l+p 2 + y 3 ) 
dx 
+ (p 1 ? 2 )-(l+^0(l+9 a ) dx-o, 
pq dq—(l + q 2 )dp 
VO- ~\~P Z + y 2 ) 3 
Diese Gleichung erfüllt die Integrabilitäts-Bedingung. Es ist nämlich: 
( ZI ) 
Vva+»*+**)/ 
Q-'(l +F 3 + y ,J )> 
dp 
{ “ 
W -\-p 3 +q 2 ) 
P 
) 
also: 
Öq 
-q + g a ) 
V(l+p 2 + q 2 ) 3 ’ 
pq 
l/q + P 2 + q 2 ) 3 
p 
V(i +p i +q i ) ’ 
Ebenso erhält man, wenn man dx eliminirt, in ganz derselben Weise; 
2/+ V(l+^ + 9 a ) 
= b.