Form (Zahlenlehre). 
Quadrat. Form (Zahlenlehre). 51 Quadrat. Form (Zahlenlehre). 
gestellte Werth der Deter- 
1t offenbar die Congruenz: 
n 2 ^Zlmodm 
rtikel: Quadratischer Rest 
;ire wegen der Bedeutung 
n) — und hieraus folgt der 
eine Zahl m durch eine 
Form ausgedrückt werden 
i die Unbekannten r und s 
sahlen sind, so muss die 
dieser Form quadratischer 
ahl m sein.“ 
Werthes von /», in Ab- 
aber auch 
zrp-|-/)(rö-|-sp)-|-csij; 
ichung sind für () und ff 
erthe zu nehmen, welche 
te Gleichung 4) ra — so=l 
> 0 , ff 0 irgend ein Paar zu- 
ger Wurzeln dieser Glei- 
allgemein: 
iebige ganze Zahl ist. Es 
den Elementen der Theo- 
immten Gleichungen. Diese 
1) eingesetzt zeigen aber, 
n ~ n 0 -\-mt 
r (> 0 und a 0 entsprechende 
ist. Es ergibt sich näm- 
irs-{-cs ), 
einen Werth von r und s. 
mn die Gleichungen 4 des 
mittes als bestehend an, so 
selbe q und a auf unendlich 
u bestimmen. Nach Ab- 
cht die Gleichung 4) aber 
ie Determinante der aus 
rch die Substitution f’ N 
|S, ß\ 
Formen gleich der von 
;, dass also eine eigentliche 
tattfindet. 
sen noch zu beweisen, dass 
n, p) irgend eine mit 
^entlieh äquivalente Form 
durch f(a, b, c) darstell- 
iede Substitution U 
J |s, a| 
b, e) zu f(rn, n, p) führt, 
'Stellung von tn gibt, wenn 
= s in die Form setzt, de- 
icmWerthe von Yd mod m 
ndlich jede dieser Darstel- 
amal vorkommt, 
iis ergibt sich aus folgen 
den. Sind f{a, h, c) und 
f(m, n, p) eigentlich äquivalent, so gel 
ten die Gleichungen 2, 4, 5, 6 des vo 
rigen Abschnittes. Gleichung 2 aber 
sagt, dass m durch f{a, b, c) darstell 
bar ist, Gleichung 5), dass die Darstel 
lung zu einem Werthc von ]/ö mod m 
gehört. Käme nun eine Darstellung 
2 Mal vor, so gaben 2 Transformationen 
mit verschiedenen p und ß dasselbe r 
und s, was unmöglich ist, da die Glei 
chungen 4) und 6) p und (T durch r und 
s völlig bestimmen. Endlich aber kann 
auch keine Darstellung ausfallen, denn 
für eine solche würden immer noch die 
Gleichungen 4) und 6) als richtig an 
zunehmen sein, die zur Bestimmung von 
p, u und n führen, und nach dem ersten 
Theile unseres Beweises geben diese 
Gleichungen eine mit f(a, b, c) eigent 
lich äquivalente Form. 
9) Die Entwickelungen in 6) zeigen, wie 
I ß I t 
man aus einer Substitution ’ ä,, die 
1 y, d| 
von /'(«, b, c) zu f(jn, n, p) führt, alle 
andern r 1 ’ finden kann, welche das- 
\Yu t> 11 
selbe bewirken, und zu demselben Werthe 
von |//lmod»i gehören. Eine solche 
Reihe von Darstellungen möge jetzt 
Gruppe heissen. Für unsern Fall ist in 
den am Schlüsse von Abschnitt 6) ge 
gebenen Formeln für « 15 d', nur 
r, q, s, ff an die Stelle von a, ß, y, d 
zu schreiben. 
Wir machen zunächst folgende An 
nahmen : a, b, c sollen keinen gemein 
schaftlichen Factor haben, cs ist dann in 
Abschnitt 6) w, welches der grösste ge 
meinschaftliche Faktor von a, 2b und c 
war, entweder gleich 1 oder gleich 2, 
und die Gleichung l 2 —Du* = nimmt 
die Gestalt an 
l 2 -Du 2 = 1 
oder 
t 2 ^Du' =4. 
Ferner soll die Determinante D für’s 
Erste positiv sein. 
Ist w = 1, so sind a und c grade, b 
aber kann als ungrade angenommen 
werden, weil man sonst die Form 
ax 2 -j-26iM/ + ci/' 2 mit 2 dividiren könnte, 
ohne dass das mittlere Glied aufhörte 
einen graden Coefficientcn zu haben. 
(<+ M ]/ZT) (*-«]/£)(«. H 
Es ist aber: 
(t±uY r D)(t l ±u i yiT)= tt 
also 
Jedes Quadrat einer ungraden Zahl 
ist immer von der Form 4m+1, denn: 
(2ü —)— 1) 2 =4r' ! +4ü +1 
und ac ist in unserm Fall von der Form 
4m; also wegen der Gleichung 
D — b' 2 — ac 
muss D von der Form 4m+1 oder 
1)= lmod4 
sein. 
Sei nun w ganz beliebig, so kann t 
niemals Null werden, da Du 2 stets ne 
gativ ist, also die Gleichung 
t 2 —Du 2 = (o 2 
in diesem Fall nicht erfüllbar ist. Ist 
m = 0. so wird t — w. Wir werden diesen 
Fall indess ausschliessen. Sind T und 
U zwei zusammengehörige Auflösungen 
der Gleichung t 2 —Du 2 = co 2 , so wird, 
wenn ein andrer Werth von t grösser 
als T ist, auch der zugehörige von u 
grösser als U sein müssen, da t 2 und 
Du 2 ungleiche Vorzeichen haben, man 
kann also annehmen, dass T und U die 
kleinsten Auflösungen unsrer Gleichung 
sind. 
10) Es lässt sich nun zeigen, 
dass der Ausdruck 
t+uYD_(T+uYDV 
Cü \ CO / 
wo n eine beliebige positive 
oder negative ganze Zahl und 
m = 1 oder =2 ist, in jedem Falle 
die allgemeinen Werthe von t 
und u aus den kleinsten Werthen 
T und U ergibt, wenn man durch 
Trennung des rationalen und 
irrationalen Theils diese Glei 
chung in 2 andre zerlegt. 
Sei zunächst nämlich io = 1, und seien 
zwei Wurzelpaare unserer Gleichung 
tu und ijM, gegeben, so dass man hat 
t 2 —Du 2 = 1 
und 
t j 2 — Du l 5 = 1 
oder 
(t + ufD) (t-uYW)=l 
und 
(<, + M,)/fi)(f 1 - H yÄ) = l, 
so ist auch 
(t 1 —Du 2 ) (i, 2 — ÖMj *) = 1; 
und wenn man in Faktoren zerlegt; 
« 1 V / 5)(t 1 -M 1 /5)=i. 
j-f-jDmmj ~hD (ufj+iM,), 
[H 1 +Yd(u1 1 -Hm,)] [tt t — YPiiit f -pi«,)] = l, 
4.*