Quadraturen — Zurückf. auf. 583 Quadraturen — Zurückf. auf. 
particulären Integralen allgemeine abzu 
leiten. 
Sei: 
AiPv+ A 2Pi J r • • • 
eine gegebene Differenzialgleichung, wo 
2 die abhängige Variable, p v p 2 . . . 
deren Differenzialquotienten nach den 
unabhängigen Variablen x L , . . . x 
genommen vorstellen, ohne dass über die 
Ordnung derselben etwas festgesetzt 
wird, auch das nicht, dass sie etwa alle 
von gleicher Ordnung sein sollen; seien 
ferner die Coefficienten A t , A 2 ... B 
nur von den unabhängigen Variablen x t , 
x 2 . . . abhängig. Sind dann z', z". . . 
Werthe von 2, welche diese Gleichung 
erfüllen, also particuläre Integrale, so 
ist auch z — m l z r + m 2 z" . . . ein Inte 
gral, wo m,, m 2 beliebige Constanten 
sind, denn offenbar macht das Einsetzen 
dieses Werthes von z in unsere Glei 
chung dieselbe identisch. Enthält das 
particuläre Integral z^ eine willkürliche 
Constante «, so kann man also auch 
z — 2 m z 
a a a 
setzen, wo sich a in den einzelnen Glie 
dern nach einem beliebigen Gesetze än 
dert, und die Coefficienten m beliebige 
Constanten sind. Ferner sind wie leicht 
zu sehen, Integrale die Ausdrücke: 
dz 
Ordnung ist, und die daher ein allge 
meines Integral mit einer willkürlichen 
Function hat. Sei für: 
t — 0, u —(fi (jx), 
so ist nach dem Maclaurin’schen Satz: 
f 2 
frV 
wo «/, u 0 " . . . die Werthe von: 
du d 2 m 
d<’ dt 2 
Vermöge unserer Gleichung aber ist: 
«o' = « 3 •/"(«)> 
u-,f{x)+lu 0 , + - 
'+ 
., für m = 0, andeuten. 
, IV 
Es ist nämlich: 
0*U 
Ti 2 ' 
d 3 u 
dt dx 2 
Q) 
d*u 
dx* 
also: 
u = <f (x) + a 2 tif” (x) + 
a 4 t 2 !fi IV (x) 
da 
und; 
; = / z da, 
./ a 
das letztere in beliebigen Grenzen und 
auf beliebigem Wege genommen, voraus 
gesetzt, dass z f( auf letzterem nicht dis- 
continuirlich wird, welcher Fall eine be 
sondere Untersuchung erfordern würde. 
Was die Entwickelung in Reihen an 
betrifft, so bedient man sich in der Re 
gel der unbestimmten Coefficienten, einer 
Methode, welche jedoch zunächst nur 
particuläre Integrale liefert, auf welche 
dann der vorhergehende Satz anzuwen 
den ist, um sie den Bedingungen der 
Aufgabe gemäss zu verallgemeinern. 
Zuweilen gibt der Maclaurin’sche oder 
Taylor’sche Satz das allgemeine Integral 
unmittelbar. 
I) Sei z. B. gegeben die Gleichung: 
1-2 
a e t 3 (i vl (x) . 
-1 - V4 4- , 
1-2-3 ~ 
Diese Reihenentwicklung gilt natürlich 
nur so lange, als der gewählte Werth 
von (/ (x) bewirkt, dass dieselbe conver- 
girt, wobei die allgemeinen Principien 
der Convergenz der Potenzreihen maass 
gebend sind. 
Würde man aber dem Ausdruck u 
einen Anfangswerth für x — 0 geben, 
so müsste das Integral zwei willkürliche 
Functionen enthalten, da die Gleichung 
nach x von der zweiten Ordnung ist. 
Nehmen wir an, es sei gleichzeitig: 
x — 0, u — f (í), 
und : 
so hat man: 
u=f(t)+x F{t)+ 
+ 
1 • 2 
n 0 
' + 
'+ 
du .da 
— fl 3 
dt 
o*u 
eine Gleichung, die nach t hin erster 
1-2-3 
wo m 0 ", «/" ... die Differenzialquo 
tienten von u nach x genommen bedeu 
ten, wenn man x~0 setzt. Nun ist; 
d 2 u 1 du 
dx* a 2 dt ’ 
d 3 u 
dx 3 
d*t 
dx 4 
i 1 d /d«\ 
a 2 dt \dx)’ 
*m _ 1 d /d 2 u\_ 1 d 2 u 
r* « s dt Vehr 2 / a 4 di a 1