Quadraturen — Zurückf. auf. 591 Quadraturen — Zurückf. auf. 
so dass man hat: 
^ y’ + co /-• + co 
= — I I f(b) cos amt coswi (x — h)dm dh, 
—co •' —CD 
womit der ersten Bedingung genügt ist. —wird =0 für u ~ 0. 
Nach der im vorhin behandelten allgemeinem Falle angewandten Methode ist 
nun ein ähnlicher Ausdruck zu finden, der für i = 0 verschwindet, und f (x) 
für diesen Fall gibt. 
Ist u ein Integral unserer Gleichung, so ist, wie sich unmittelbar verificiren 
lässt, auch / udl ein solches. Wir könnten daher in der vorigen Formel, in 
J o 
welcher wir f mit F vertauschen, das Integral nach t nehmen, und selbstverständ 
lich wird dann den obigen Bedingungen genügt sein. Es ergibt sich: 
1 p+co sin aml 
ii — -— / / t (h) cos mix—b) dm ab, 
2naJ ^ m 
und der allgemeine Werth von u ist also: 
u~— / / f{b),cosamt cosm(x—b) 
2ti.7 —co«/ —co 
dm dh 
-CO 1 
. + CO 
1 /» + «> P+® sinflfflf 
+-— I / f(b) cos m(x — o)dmdb. 
^2naJ _ 00 ./ ™ 
Da wir bereits früher ein Integral dieser Gleichung ohne Quadraturen gefunden 
haben, so muss dies hier gegebene damit übereinstimmen, was leicht zu veri- 
ficiren ist. 
V) Die schon betrachtete Gleichung; 
■ a 
du , d 2 w 
d t 
welche ein völlig bestimmtes Integral hat, wenn man für: 
t = 0, u = F (x) 
setzt, wollen wir nach derselben Methode behandeln. 
Ein particuläres Integral ist: 
u~e cos m (x—b), 
und durch Verification findet man, dass die Constanten der Bedingung genügen 
müssen: 
a~n 
ein allgemeines Integral also ist: 
»d -0 ® cc 
—m 2 « 2 i 
cos m (x — b) dm db, 
/•i-oo 
und dies gibt für < = 0: 
-g— / / F(b) cos m{x~b)dm db~ F (x), 
¿nj —CO»' —co 
nach dem Fourrier’schen Satze, womit die Aufgabe gelöst ist. Es fragt sich noch, 
in wiefern dieser Ausdruck sich vereinfachen lässt. 
Es ist: