Quadraturen — Zurückf. auf. 592 Quadraturen — Zurückf. auf. 
/ 
+ oo 
-n‘u* Vn ‘ 
cos 2» u du = -— e 
, n 
und somit: 
also: 
/ 
+ 00 
—a 2 m‘ l t y^ 
i cos m (x — 6) dm = -— 
00 «V* 
(x—b) 2 
4a a t 
+ CD 
M ~2 
Früher hatten wir gefunden: 
fy-ftV 
1'2« y<7 
F(b)db. 
1 /'■+ 00 
iT - / [l' , (®-{-2a rty<) + jF(a:—2« «y<)] da. 
r 71 t —m 
2y: 
Auf diesen Ausdruck lässt sich das obige Resultat leicht zurückführen, wenn 
man setzt: 
also: 
b — x 4-2 an\t. 
Nimmt man das obere oder untere Zeichen, so erhält man: 
. + GO 
i r -\-zo , 
J e K F(x -\-2acc \t) d«, 
und die halbe Summe beider Werthe kann also für u gesetzt werden, was mit 
der angeführten Formel übereinstimmt. 
YI) In gleicher Weise lässt sich auch die Gleichung: 
du _ id 2 u d J w d*u\ 
dt a \dx a dy 2 1 dzV 
dy* 
behandeln, sie drückt die Fortpflanzung der Wärme in einem homogenen Körper 
aus. Die vorhin behandelte Gleichung entspricht dem Falle, wo der Körper in 
allen der (y z) Ebene parallelen Richtungen gleichmässig erwärmt ist. 
Sei für: 
l = 0, u = F(x, y, 2). 
Nehmen wir ^zunächst das particuläre Integral: 
u—e m 1 cos «(.r—|) cos/3 (y — y) cos y (2 — £), 
so erhält man durch Einsetzen in die Differenzialgleichung: 
m 2 = a 2 (« a + (S a -j- y 2 ). 
Es ist nun nach dem Fourrier’schen Satze: 
1 /•+ 00 
F(x, y, = J F{f, y, f) cos(c(x — £) cos ß(y — y cosy (2 — £) du dßdy dljdydl;, 
wo das Integralzeichen eine sechsfache Integration, jede in den Grenzen —co und 
+ co anzeigt. Man erhält diese Formel, wenn man erst y, z constant denkt und 
F(x, y, 2) durch ein doppeltes Integral nach dem Fourrier’schen Satze ausdrückt, 
in diesem Resultate y variabel denkt, das Verfahren wiederholt, und endlich mit 
2 ebenso verfährt. 
Somit wird der Ausdruck: 
.+00 
= gjr/_ *({,,, 
cos« (SC —£) cos ß {y—y) 
cos y {z — C) da dß dy d% dy d£