Quadraturen — Zurückf. auf. 597 Quadraturen — Zurückf. auf. 
du „ d 2 u 
-xr-- — Cl l -—- 
d t dx 2 
u i 
= “o + (*i-* o)a 2 
z. B. bestimmt die Bewegung der Wärme 
in einem Stabe, den wir nns unendlich 
lang denken wollen, t ist die Zeit, x 
die Entfernung eines Punktes des Sta 
bes vom Anfangspunkte. 
Bestimmt man den Anfangszustand so, 
dass der Wärmezustand zu einer gewissen 
Zeit, für die man doch immer £ = 0 neh 
men kann, in jedem Punkte des Stabes 
gegeben sei, also dass dann u~ y (x) sei, 
so reicht diese Bedingung vollständig 
aus, um den Wärmezustand zu jeder 
Zeit zu bestimmen, da die Gleichung 
in Bezug auf t erster Ordnung ist. In- 
dess kann man die Sache auch so be 
trachten, dass der Wärmezustand in einem 
beliebigen Punkte des Stabes, also wo 
etwa u' = 0 ist, zu jeder Zeit gegeben 
sei, also dass in diesem Punkte u = f(t) 
sei. Diese Bedingung reicht nicht hin, 
um die Aufgabe vollständig zu bestim 
men, da die Gleichung in Bezug auf x 
2ter Ordnung ist. Es wird uoch nöthig, 
eine zweite willkürliche Function einzu 
führen, z. B. diejenige F (t), welche den 
Werth von ^ im Punkte # = 0 angibt. 
Aber selbst dies ist nur so lange der 
Fall, als man sich x bis ins Unendliche 
gehend denkt, also diese Variable belie 
bige reelle Werthe — denn um solche 
handelt es sich doch nur bei dergleichen 
Aufgaben — geben kann. In der An 
wendung aber ist es nicht der Fall. Un 
tersucht man z. B. die Bewegung der 
Wärme in einem Stabe von einer belie 
bigen Länge, also von x~Q bis x~a, 
so reicht die Grenzbedingung, dass für 
i = 0, u = <f (x) sei, nicht mehr aus. Es 
wird nämlich die Gleichung dann nur 
für die Punkte des Stabes gelten. In 
der That haben wir in Abschnitt 12) 
dergleichen Betrachtungen nicht angestellt. 
Gehen wir also von den recurrenten 
Gleichungen, in welche sich eine partielle 
Differenzialgleichung zerlegen lässt, in 
Bezug auf unser Beispiel wieder aus, 
nehmen aber an, dass unsere Gleichung 
nur so lange gelte, als x zwischen den 
Grenzwerthen x = a und x=ß liegt, wo 
«<ß sei. 
Seien wieder: 
«o> M i> u i • • ■ u n 
continuirliche Werthe von u, welche den 
continuirlichen Werthen: 
t — 0, t — f£ = £ 2 > t —— G . • • 
entsprechen. Dann ist: 
m 3 =Ml +(i 2 -f l )a a 
d 2 u l 
da; 2 
uh 
. ~h(f —f 
■ 1 n n 
alle 
)a 2 —— 
— V dx 1 
Werthe von 
man ane wertüe von u 0 
welche hierin enthalten 
Kennt 
du 0 d 2 u c 
dx’ dx 2 
sind, für jedes x, so bleibt allerdings nur 
u 0 willkürlich, und ist also dafür eine 
willkürliche Function von „r zu setzen. 
Nehmen wir indess an, x sei gleich «, 
so ist: 
d 2 u u, \—2u/ \ß-u, , 
s _ ,(s, « + Q (s,«) (s,cc—y) 
dx 2 ~ ' V 2 ~ ’ 
ins Unendliche abneh- 
aber den Werth von 
wo man sich 
mend denkt, w, , 
u g für x — a vorstellt. Von den drei 
hier vorkommenden Werthen von u lie- 
s 
gen aber nur die zwei ersten, u, . ,, 
(s, «+Q 
u^ s in demjenigen Raume, für welchen 
die Differenzialgleichung gilt, nicht aber 
« — ;/)' ^' ese Grösse ist also völlig 
unbestimmt. Ebenso ist, wenn man x — ß 
setzt: 
1 Obff+y) ^ U (h ß) + U (s,ß - y) 
d 2 u 
dx 2 v 2 
und u^ s ^ ausserhalb des gegebenen 
Raumes also unbestimmt. — Soll also 
die Function u völlig definirt sein, so 
müssen noch für beliebiges t die Werthe 
u, 0 , ,, u, v gegeben sein, d. h. 
(s, ß + y) (s,ß — V) ö ö 
da v unendlich klein ist, es müssen zu 
der Bedingung: 
t — 0, u — y (x) 
noch hinzutreten die beiden folgenden: 
x = re, u—f(i), x = ß, u — F^t). 
Die Function muss an beiden Endpunk 
ten bestimmt sein. 
Offenbar sind diese Schlüsse nicht von 
der besondern Gestalt unserer Differen 
zialgleichung abhängig, sondern nur von 
der Ordnung, die sie in Bezug auf x 
hat. Wäre sie in Bezug auf diese Va 
riable erster Ordnung, so würde der 
Werth u, n , N nicht Vorkommen, also 
(s,ß+y)