Quadraturen — Zurückf. auf. 603 Quadraturen — Zurückf. auf. 
einen nicht allein in den Anwendungen 
der Mathematik auf Physik höchst wich 
tigen Satz enthält, sondern auch in der 
neuesten Zeit für die Analysis eine Be 
deutung erhalten hat, welche es zu einem 
Fundamentalsatze für die Theorie der 
Functionen macht. 
Es bezieht sich dies Beispiel auf die 
partielle Differenzialgleichung zweiter 
Ordnung: 
d 2 u o 2 u d 2 u 
da; 2- ^dt/ 2 ^'ös 2 ’ 
wo wir uns der Anschaulichkeit wegen 
unter x, y, z rechtwinklige Coordinaten 
denken. Es möge sich die Gleichung 
über einen geschlossenen körperlichen 
Raum erstrecken. Es drückt dieselbe 
z. B. den Wärmezustand eines homogenen 
Körpers aus, welcher sich in Wärrae- 
gleichgewicht befindet, wo also kein 
Punkt dem andern Wärme abgibt; ausser 
dem aber ist durch sie die Anziehung 
bestimmt, welche ein Körper auf einen 
nicht in ihm liegenden Punkt nach dem 
Newton’schen Gesetze ausübt. Endlich, 
wenn wir 2 constant annehmen, eine 
Annahme, wodurch sich unsere Glei 
chung in: 
d 2 « d 2 )t_ 
dx 2 '~dy 2 
verwandelt, so gibt dieselbe die Bedin 
gung dafür, dass u der reelle Theil einer 
Function f der complexen Grösse x -}- yi 
sei, so dass: 
f(x+y i) = u ■+■ vi 
gesetzt werden kann, während der mit i 
multiplicirte Theil durch die Gleichungen 
bestimmt ist: 
du du 
dx dy' 
du du 
dy’ dx' 
In allen diesen Bestimmungen ist also 
nothwendig, dass u, x, y, z reell seien. 
Die in Rede stehende partielle Differen 
zialgleichung ist in Bezug auf alle drei 
unabhängigen Variablen zweiter Ordnung; 
also zur völligen Definition von u sind 
zwei willkürliche Functionen nöthig. 
Dieselben können z. B. durch die Be 
dingungen bestimmt sein, dass auf der 
ganzen Oberfläche 
« = /■(*» 2/> 2 ) 
sei, wo f völlig willkürlich ist, und 
ausserdem: 
^ = 7 0> V, z ) 
ebenfalls auf der Oberfläche, wo if eben 
falls eine willkürliche Function, und 
du 
— der Diffcrenzialquotient von u ist, 
genommen in der Richtung der an irgend 
einen Punkt der Oberfläche gezogenen 
Normale. 
Nimmt man aber zu der Differenzial 
gleichung die Bedingung hinzu, dass u 
in dem ganzen Körperraume continuir- 
lich sei, so fällt die zweite Grenzbedin 
gung weg, und es bleibt nur die erste 
übrig, d. h. es findet folgender wichtige 
Satz statt: 
„Eine Function u ist völlig definirt 
für einen gegebenen begrenzten Raum, 
wenn sie: 1) auf der ganzen Begrenzung 
einen gegebenen continuirlichen Werth 
u — f(x, y, z) hat, 2) innerhalb des gan 
zen Raumes continuirlich ist, und 3) da 
selbst der Differenzialgleichung: 
d' 2 u d 2 u d 2 u 
dx 2 dy“ 1 dz' 2 
genügt,“ 
Wir geben den Beweis dieses Satzes 
nach seinem Erfinder Dirichlet. 
Es ist nachzuweisen, dass es für jede 
beliebige Function f(x, y, z), die auf 
der Begrenzung gegeben ist, eine allge 
meine u gebe, welche den Bedingungen 
2) und 3) genügt, und ausserdem, dass 
nur eine solche Function existire. 
Zuvörderst ist klar, dass man die 
Function f(x, y, z) auf der Grenze be 
liebig annehmen kann, dann, indem man 
die Grössen x, y, z derart continuirlich 
ändert, dass die entsprechenden Punkte 
in den Körper hineinfallen, dass man die 
Function u auch nach einem beliebigen 
Gesetze continuirlich ändern kann, so 
dass sie im ganzen Raume continuirlich 
bleibt Man erhält auf diese Weise also 
unendlich viele Functionen, welche con 
tinuirlich aus einander entstehen und den 
Bedingungen 1) und 2) genügen. Es 
fragt sich, welche von denselben auch 
die Bedingung 3) erfüllen. Zu dem 
Ende betrachten wir das dreifache In 
tegral : 
welches sich über den ganzen Körper 
erstrecken soll. Jeder der unendlich vie 
len Functionen u entspricht ein V, alle 
diese V entstehen continuirlich aus ein 
ander. Da aber das jedenfalls reelle und 
continuirliche Argument von V. 
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