Quadraturen — Zurückf. auf. 604 Quadraturen — Zurückf. auf. 
/ du\ 2 / du\ 2 
-f- wesentlich positiv ist, so kann die Grösse V nicht unter ein 
gewisses Minimum sinken. Es ist hierbei indess zunächst der Fall nicht ausge 
schlossen, dass mehr und selbst uuendlich viele aus einander entstehende Functio 
nen von u dem entsprechenden V diesen kleinsten Werth gehen. Suchen wir 
jetzt die Bedingung, der ein solcher dem kleinsten V entsprechende Werth von u 
genügt. 
Zu dem Ende mögen sich V und u auf das Minimum, V L und u+aw auf 
einen beliebigen anderen Werth dieser Grössen beziehen, a ist hier eine belie 
bige Constante, w eine Function von x, y, z. Man hat dann offenbar; 
Tr n i'(du dw du dw du dtc\ , . , 
V. = F+2« / (— -f- -r— «— -)—;—r— ) dx dy dz 
J \ox dx cy dy oz dz, / 
+ a 
Es ist nun aber 
/( 
du dtc du dw du du 
dx dx dy dy dz, dz 
^ dx dy dz — j w dy dz -j-y- dx dz dx dy^ 
In das erste Integral kann man einsetzen: 
dy dz — cos n dw, dx dz — cos ß dw, dy dx r= cos y dw, 
wo dw das Element der Oberfläche, et, ß, y die Winkel der Normale an dieselbe 
mit den Axen vorstellcn; das erste Integral nimmt dann die Gestalt an: 
tiu du 
COS « + t- COS ; 
dy 
du \ 
' s+ & cos 0 
und erstreckt sich über {die ganze Oberfläche. Der Definition von u und ic wegen 
ist aber auf derselben: 
u — f(x, y, z) und u-\- aw~f(x, y, s), 
also tc = 0. Es verschwindet somit dieses Oberflächenintegral, und man hat: 
r. = F-2 af.c (0 -t~ + 0) d* iy * 
+a ’/(sr)’+(^)’+ d,J *• 
Da V ein Minimumswerth war, so müssen wenigstens für die u benachbarten 
Functionen u-\-aio das zweite und dritte Glied rechts nicht negativ sein. Indess 
kann man a beliebig klein machen, und es fällt somit das letzte Glied ausser Be 
tracht. Es müsste also das zweite Glied für sehr kleine a positiv sein. Es kann 
^ 2 ^ 0^X1 
indess a stets positiv gedacht und w so genommen werden, dass, falls p -— 
dx 1 dy 2 
d 2 u 
+ ¿yy positiv sein sollte, io negativ, im entgegengesetzten Falle w positiv ist. 
Dann ist dieses Glied aber stets negativ, wenn nicht: 
d 2 u d 2 u <5 2 
dx a dy 2 ^ 
dz 2 
= 0 
ist. Da es nun immer ein dem kleinsten V entsprechendes u gibt, so muss we 
nigstens eine der Functionen u der Bedingung 3) genügen. Es würde dies auch 
selbst dann stattfinden , wenn unendlich viele auf einander continuirlich folgende 
Werthe von u dem kleinsten V entsprächen. Es würde dann beim üebergang 
von u zu einem solchen nächsten Werthe der Zuwachs von V verschwinden, und 
somit auch die Bedingung 3) erfüllt sein. Wir beweisen aber jetzt, dass es nur 
ein Minimum von V gebe, und mithin nur eine Function u den Bedingungen 1), 
2) und 3) genügt. In der That seien jetzt u und u-\-aw dergleichen Minimums- 
werthe, so ist: