Quadratwurzel. 
Quadraturen (Astronomie). 608 
Fig. 58. 
ter sich parallel sind. Die Berührungs 
punkte der von S gezogenen bilden dann 
eine auf S P senkrechte, die von E ge 
zogene eine auf EP senkrechte Ebene. 
ab und cd seien bezüglich die Durch 
schnitte dieser Ebenen mit SEP. ab aber 
schneidet diejenige Hälfte von P ab, 
welche von der Sonne erleuchtet wird, 
cd diejenige, welche von der Erde aus 
gesehen werden kann, ab und cd aber 
machen denselben Winkel EPS = «, den 
ihre Normalen machen. Sei noch SEP=: A, 
SE = q, SP=r. Ist Winkel ,« == 0, so 
ist die volle Scheibe von der Erde zu 
sehen, ist ,« = 180, so ist P unsichtbar, 
und ist ,« = 90, so sieht man die halbe 
Scheibe, und allgemein sieht man desto 
weniger, je grösser fx ist. Offenbar 
aber ist: 
r p . sin A 
-—7 = -r x —, sm«=p . 
sin A sin /x 1 s J 1 
Betrachten wir zunächst den Mond, so 
kann man q — v setzen, da die Sonne 
fast gleich weit von Mond und Erde 
entfernt ist, dann ist ¡¿ — X. Zur Zeit 
der Conjunction ist nun A = 0, zur Zeit 
der Opposition A=180, zur Zeit der 
Quadratur A=90; es ist also in der 
That die halbe Scheibe zu sehen, es 
findet also das erste oder letzte Vier 
tel statt. 
Bei den obern Planeten dagegen kann 
A nie ein spitzer Winkel sein, da sonst 
der Planet sich innerhalb der Erdbahn 
befände, /x ist also nie stumpf und am 
grössten, wenn A = 90° also sin « = — 
r 
ist. Dies findet zur Zeit der Quadra 
turen offenbar statt. 
Wir wollen jetzt noch den Winkel /u 
für Mars und Jupiter berechnen. Um 
den grössten Werth von fj, zu haben, 
müssen wir für r die kleinste Entfernung 
des Sterns von der Sonne setzen, diese 
ist für Mars gleich 1,38 Erdhalbmesser, 
also sin/u = j-gg = 0,73, fx = 47°. Dies 
ist der Theil der vollen Scheibe (180°), 
welcher unsichtbar ist, und es sind da 
her beim Mars immer | der vollen Scheibe 
sichtbar, d. h. die Phasen desselben sind 
nur gering. Jupiter beschreibt fast einen 
Kreis um die Sonne, dessen Halbmesser 
fünfmal so gross als der der Erdbahn 
ist. Es ist also : 
sin ,« = 0,2 ,« = 12°, 
so dass Jjj- der vollen Scheibe stets 
sichtbar sind. Jupiter hat also unmerk 
liche Phasen. In höherem Maasse ist 
dies noch bei den Planeten der Fall, 
welche sich hinter Jupiter befinden. 
Quadratwurzel (Arithmetik und Al 
gebra). 
1) Allgemeine Sätze. 
Quadratwurzel aus a, geschrieben \a, 
heisst diejenige Zahl, welche mit sich 
selbst multiplicirt a gibt. Die Gleichung: 
y a =b 
ist also identisch mit: 
a — b' 1 , 
und aus der Vereinigung beider folgt: 
b = Yb 2 . 
Satz A. Ist b eine Quadratwurzel 
aus a, so ist auch —b eine solche. 
Denn es ist: 
a = = (—6)*, 
also: 
-b = ya. 
D. h.: 
Hat eine Zahl wirklich eine Quadrat 
wurzel, so hat sie auch eine zweite, die 
mit der ersten gleichen absoluten Werth, 
aber das entgegengesetzte Vorzeichen 
hat. Es ist also auch : 
yb* = ±b. 
Satz B. Keine Zahl kann mehr als 
2 Quadratwurzeln haben. 
Denn sei b eine Quadratwurzel aus 
cjß 2 
a, so muss der Ausdruck eine 
x—b 
ganze Function sein. Gäbe nämlich die 
Division den Quotienten x-\-c und den 
Rest r, so wäre: 
X* — a~{x—b) {x-\-c+ -- -) 
{x—b) (x-j-c)-l-r.