Quadratwurzel. 
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Quadratwurzel. 
Setzt man nun x~h, also nach der An 
nahme x % ~a, so kommt j’ = 0. 
Hieraus folgt, dass x—b ein Factor 
von x i — a ist. Es kann aber dieser 
letztere Ausdruck nur zwei Factoren 
von der Form x—b haben, es sind also 
auch nur zwei Quadratwurzeln möglich. 
Also: 
Jede Zahl hat entweder keine oder 
2 Quadratwurzeln, die sich nur durchs 
Vorzeichen unterscheiden. 
2) Quadratwurzeln der ganzen 
Zahlen. 
Denkt man sich die ganzen Zahlen in 
ihrer natürlichen Reihenfolge in einer 
Reihe, und darunter in einer zweiten 
ihre Quadrate geschrieben, also: 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . . . . 
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ... . 
so enthält die obere Reihe die positiven 
Quadratwurzeln der bezüglichen Zahlen 
der unteren Reihe. 
Die letzteren werden Quadratzahlen 
genannt. 
„Die Quadratzahlen haben die Eigen 
schaft , dass ihre Quadratwurzeln ganze 
Zahlen sind.“ 
Keine andere ganze Zahl hat eine 
ganze Quadratwurzel. — Betrachten wir 
z. B. die Zahl 7, die zwischen den Qua 
dratzahlen 4 und 9 liegt, so müsste ihre 
Quadratwurzel auch zwischen deren Wur 
zeln 2 und 3 liegen, und kann daher 
keine ganze Zahl sein. 
„Eine Nichtquadratzahl kann aber auch 
keinen Brach zur Wurzel haben.“ 
Denn sei etwa: 
wo a und b ganze Zahlen sind, und 
keinen gemeinschaftlichen Factor haben. 
Es lässt sich derselbe nämlich, wenn ein 
solcher vorhanden sein sollte, immer 
durch Heben entfernen. Nach der De 
finition der Quadratwurzeln wäre dann 
auch: 
a und b hatten keinen gemeinschaftlichen 
Factor, also eben so wenig: 
a^ — U'U und 6 2 = i»i. 
Es kann also 
o* 
b 2 
unmöglich gleich einer 
ganzen Zahl 7 sein, was zu beweisen 
war. Obgleich aber die Wurzeln der 
Nichtquadratzahlen weder ganze Zahlen 
noch Brüche sind, darf man nicht sagen, 
dass dieselben keine Quadratwurzeln 
hätten. Vielmehr wird durch dieselben 
ein neues Element, „die Irrationalzahl“, 
in die Arithmetik eingeführt. 
3) Von den Irrationalzahlen. 
Satz I. „Es lässt sich immer ein Bruch 
cc finden, dessen Quadrat sich nur um 
eine beliebig kleine Grösse von einer ge 
gebenen Nichtquadratzahl unterscheidet.“ 
Beweis. Sei z. B. 7 die gegebene 
Zahl, die zwischen den Quadratzahlen 4 
und 9 liegt. 
Es ist also: 
2 2 <7, 3 2 >7. 
Fügt man also zur 2 irgend eine Anzahl 
Zehntel hinzu, so kann das Quadrat der 
entstehenden Zahl entweder kleiner oder 
grösser als 7 sein. Jedenfalls aber muss 
es 2 auf einander folgende Zahlen, etwa 
6 und 7 geben, derart, dass: 
(2, 6) a <7, (2, 7) 2 >7 
ist. 
In der That ist: 
2,6* = 6,76, 2,7 2 = 7,29. 
Fügt man also zu 2,6 noch Hundertel 
hinzu, so wird es wieder zwei auf ein 
ander folgende Zahlen geben, hier 4 
und 5, die bewirken, dass: 
2,64 2 <7, 2,65 2 >7 
ist, und es ist klar, dass man auf diese 
Weise fortfahrend und immer mehr Zif 
fern nehmend, sich auch immer mehr an 
die Zahl 7 annähern muss. Schreite 
man z. B. bis zur 7. Bruchstelle vor, 
so ist: 
2,6457513 2 <7. 
Will man den Unterschied dieses Qua 
drates von 7 wissen, so merke man, dass 
eine Einheit der 7ten Stelle hinzugefügt, 
dasselbe schoir grösser als 7 macht, es 
ist also: 
(2,6457513 + 0,0000001) 2 >7, 
d. h. : 
2,6457513 2 +2 • 0,0000001 • 2,6457513 
+0,0000001 2 >7. 
Die beiden letzten Glieder links werden 
immer kleiner, und können unter jede 
Grenze sinken, je mehr Stellen man dem 
ersten Gliede gibt, und somit lässt sich 
immer eine Zahl a finden, derart, dass 
der Unterschied r = 7 — « 2 unter eine ge 
gebene noch so kleine Grenze sinkt, was 
zu beweisen war. 
Satz II. „Die Quadratwurzeln der 
Nichtquadratzahlen können nicht voll 
ständig bestimmt werden. Man kann 
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