Quadratwurzel. 
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Quadratwurzel. 
sich aber an dieselben derart annäbern, 
dass der Unterschied kleiner als jede 
gegebene noch so kleine Zahl ist.“ 
Beweis. Wenn b eine Nichtquadrat 
zahl ist, so lässt sich also immer eine 
Zahl a finden, derart, dass: 
b — a 2 — y, 
und v beliebig klein ist. Daher hat 
man auch: 
ci 2 = b — y, 
und: 
n = y(Jb — y). 
Der Ausdruck |/(6—y) aber geht in h 
über, wenn v immer mehr sinkt. Ganz 
strenge erfolgt dieser Uebergang aller 
dings erst dann, wenn v gleich Null ist. 
Dies kann hier allerdings nicht stattfin 
den, jedoch mit - zunehmender Anzahl 
der Bruchziffern von cc nähert sich v 
der Null immer mehr und also « dem 
Ausdrucke ~\1. Man kann sich also 
die Wurzeln der Nichtquadratzahlen als 
Decimal- oder gemeine Brüche denken, 
deren Zähler und Nenner unendlich viel 
Stellen haben. 
„Grössen, die man nicht vollständig 
genau, aber bis zu einer beliebig kleinen 
Grenze angehen kann, heissen Irratio 
nalzahlen.“ 
Die Wurzeln der Nichtquadratzahlen 
sind dergleichen. 
4) Quadratwurzeln aus Brü 
chen. 
Satz. „Die Quadratwurzel eines 
Bruches ist gleich der Quadratwurzel 
des Zählers dividirt durch die des Nen 
ners,“ d. h.: 
n ]/« 
~b~yl' 
In der That, sei: 
ya-a, Yb=ß, 
so ist; 
a=c< 2 , b — ß 2 , 
T “ js* “ \ j) ’ 
woraus dann folgt: 
oder: 
womit unser Satz bewiesen ist. 
Sind also Zähler und Nenner des 
Bruches Quadratzahlen, so erhält man 
als Quadratwurzeln wieder einen Bruch, 
z. B : 
-,/1 =-1 
\ 9 3 
Ist einer von beiden oder beide eine 
Nichtquadratzahl, so wird die Wurzel 
eine Irrationalzahl. Jedoch lässt sich 
aus jedem Bruche die Wurzel derart 
ausziehen, dass der Nenner eine ganze 
Zahl ist. Denn sei z. B. gegeben der 
Bruch —r, so lässt sich der Nenner 
84 
84 = 2 3 • 3 • 7 durch Hinzufügen derFac- 
toren 3 • 7 in eine Quadratzahl umwan 
deln. Man hat also, wenn man den 
Bruch mit 3 • 7 erweitert: 
11 _ 11-3-7 _ 11 - 3 - 7 _ 231 
84 “ 2 2 -3 2 - 7* ~ (2- 3 - fj* ~ 42 2 ’ 
und daher: 
/11 _ V231 l/23l 
j 84 ~ y42ä 42 
Sonach lässt sich die Ausziehung der 
Quadratwurzel aus Brüchen immer auf 
die aus ganzen Zahlen und eine Divi 
sion zurückführen. 
5) Ausziehung der Quadrat 
wurzeln aus ganzen Zahlen und 
Decimalhrüchen. 
Obgleich die Ausziehung der Wurzeln 
aus Decimalhrüchen auf die aus ganzen 
Zahlen nach dem vorigen Abschnitt zu 
rückgeführt werden kann, so ist das di- 
recte Verfahren wegen seiner Einfach 
heit doch vorzuziehen. — Wir betrach 
ten jedoch zunächst den Fall, wo die ge 
gebene Zahl eine ganze und zwar eine 
Quadratzahl sei, wo sich also die Wur 
zel völlig bestimmen lässt. 
Fall A). Sei eine ganze und zwar eine 
Quadratzahl gegeben. 
Sei z. B. diese Zahl =7241481. 
Das Verfahren ist folgendes: 
1/7(24114181 = 2691 
4| 
324 
276 
521 
4814 
4761 
538( 
5381 
5381 
24 
36 
276 
468 
81 
4761 
Man theilt zunächst die Zahl von der 
ersten Ziffer rechts, also von der nie