Quadratwurzel. 
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Quadratwurzel. 
niedrigsten Stelle von A. Die Zahlen- 
werthe von und y(A + »') werden nun 
auf eine Anzahl von Stellen übereinstim 
men, dann aber von einander abweichen, 
und nur bis zu dieser Stelle wird man 
die Wurzelausziehung fortsetzen, da die 
folgenden Stellen eben falsch sind. Su 
chen wir also diese Stelle, d. h. beant 
worten wir die Frage: Wie viel richtige 
Stellen kann man für YA gewinnen, 
wenn A ein abgekürzter Decimal- 
bruch ist? 
Es sei: 
\A = cc, y(A + v) = fi + A, 
so ist die höchste Ziffer von k diese 
Grenze der Genauigkeit. Man hat aber: 
a 2 =A, (« + A) 2 = A + y, 
also: 
v=2cc k + k 2 , 2cck<^v, k<^~. 
2 cc 
Möge A nun nach dem Komma n Stel 
len haben — sind selbst die Einer oder 
mehr ganze Stellen nicht mehr vorhan 
den, so ist n negativ — während die 
höchste Ziffer von A 2 s oder 2 s—1 
Stellen vor dem Komma stehe. (Hat 
man es mit einem echten Bruch zu thun, 
so denkt man s negativ). Es hat dann 
A im ganzen n+2s oder n-f 2s—1 rich 
tige Decimalstellen, und es ist v<-^~ 
10 n 
folglich: 
k< -—. 
2a* 10 n 
Was nun cc anbetrifft, so entsprechen je 
zwei Stellen, d. h. eine Klasse von A 
einer Ziffer von «, mit Ausnahme der 
höchsten Klasse, welche auch eine Ziffer 
haben kann, und die höchste Ziffer von 
« steht also s Stellen vor dem Komma, 
und es ist: 
«<10 s+1 . 
Die Grenze von k hat cc nur im Nenner; 
setzt man also 10 für «, so wird 
diese Grenze vergrössert, und man hat: 
k< 1 
2-lO w+s+ 1 
d. h. der Fehler k enthält höchstens 
Ziffern, die n-f-s-j-1 Stellen nach dem 
Komma stehen, cc hat also n+s rich 
tige Bruchstellen, -wozu noch die s Stel 
len vor dem Komma kommen, so dass 
die Anzahl der richtigen Decimalstellen 
2s n ist. Diese Zahl ist gleich der 
der Decimalstellen von A oder höchstens 
um eine Einheit grösser. Daraus folgt: 
„Der Wurzel einer abgekürzten Zahl 
kann man soviel richtige Decimalstellen 
geben (bezüglich eine mehr, wenn die 
Ordnung der höchsten Ziffer der Zahl 
eine ungrade Potenz von 10 ist), als die 
Zahl selbst hat.“ 
Wir wollen jetzt sehen, wie sich die 
Bestimmung der richtigen Wurzelziffern 
mit möglichst weniger Rechnung errei 
chen lasse. Zu dem Ende suchen wir 
die Wurzel von 7934,6815, welche Zahl 
8 Decimalstellen hat. 
V79|34,|6815=89,076829 , . . 
64 
161 1534 
1521 
178] 1368 
1780] 136815 
124649 
178141 121660 
106884 
147760 
142512 
52480 
35628 
168520. 
Das eingeschlagene Verfahren ist fol 
gendes : 
Es ist in der gewöhnlichen Weise 
die Wurzel ausgezogen bis zur Errei 
chung der ersten 4 Ziffern: 89,07 , die 
wir, ihrem Werthe nach genommen, mit 
p bezeichnen. Dann ist aber mit 2p 
weiter dividirt, und zwar nach gewöhn 
licher Art, indem man immer nach jeder 
Theildivision eine Stelle, hier also wo 
die Stellen erschöpft sind, eine Null dem 
Beste zufügt. Ebensogut hätte die Di 
vision in der gewöhnlichen abgekürzten 
Weise stattfinden können, was hier der 
Uebersichtlichkeit wegen nicht geschehen 
ist. Es fragt sich: Wie viel richtige 
Ziffern erhält der Quotient noch bei die 
ser Division? Wir wollen diese letzteren 
Ziffern ihrem wahren Werthe nach ge 
nommen durch fj bezeichnen. Sei A 
die Zahl, deren Wurzel man sucht, so 
hat man zunächst gefunden: 
A-p = p 2 , 
wo fx der Rest 12166 ist, welcher erhal 
ten wird, wenn man die letzte Ziffer von 
p, also 7 gewonnen hat, und den Ab 
zug nach der gewöhnlichen Art des 
Wurzelziehens verrichtet hat. 
In [x wird dann mit 2p dividirt, und 
q ist der Quotient, so dass man hat: 
2 pq = t u, 
also: