Quadratwurzel. 
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Quadratwurzel. 
ähnlichen durch Erhebung ins Quadrat 
gewonnen ist; so z. B. ist rt 2 +2«6 + 6 2 
ein vollständiges Quadrat und a + b die 
Wurzel davon. 
Ist ein Buchslabenausdruck nicht auf 
diese Weise gewonnen, so kann auch 
seine Wurzel durch keine ähnliche For 
mel dargestellt werden. So z. B. ist 
nicht in solcher Weise dar 
stellbar. Der Ausdruck \x gibt eben 
den Werth der gesuchten Wurzel an, 
und kann mit ihm in gewöhnlicher Weise 
gerechnet werden. Es gibt aber auch 
Darstellungen von Quadratwurzeln un 
vollständiger Quadrate in der Gestalt 
unendlicher Reihen, die jedoch nur so 
lange ihre Bedeutung und überhaupt 
einen Sinn behalten, als sie convergiren, 
d. h. einer bestimmten Grenze sich an 
nähern. 
Wir geben zunächst die Art, wie man 
die Quadratwurzel aus einem Buchsta 
benausdrucke, der ein vollständiges Qua 
drat ist, berechnet. Die Methode ist 
genau die bei Zahlenausdrücken ange 
wandte. — Sei gesucht die Quadratwur 
zel aus : 
A~lÖx i —j— 4—7 X-—24X 1 + 12 a;. 
Die Zahl ist zunächst nach absteigenden 
oder aufsteigenden Potenzen einer Grösse 
zu ordnen, also: 
« ß V 
у 16 x*— 24 x 3 — 7л: 2 + 12 x -f-4 = 4л: 2 —Зх—2 
16 х 1 
8л; 2 | — 24а; 3 — 7 л: 2 4-12 л:4-4 
—24л: 3 +9я а 
8л; 2 —6л: — 16л: 2 +12л; + 4 
-16л: 2 +12л;-|-4. 
Man sucht zunächst die Wurzel des höchsten Gliedes 16a: 1 , also 4a; 2 = «, da 
{x^Y—x* ist, zieht das Quadrat 16a; 1 von der ganzen zu untersuchenden Qua 
dratzahl ab; in das erste Glied der Differenz wird mit 2« dividirt und der Quotient 
— 3# sei ß; man bildet 2aß-\-ß‘ t und zieht wieder ab, in das erste Glied der 
Differenz —16 a: 2 dividirt man mit 2 (n + ß) und der Quotient —2 sei gleich y; es 
wird dann 2(«4-/3)y-f-y 2 abgezogen. Die Differenz ist Null. In der That hat 
man also : 
A — n 2 — 2 aß — /S 2 — 2(rc+ß)y — y 2 =0, 
d. h.: 
A — (a+ß~\~y')* = 0, A = («+jS4-y) 2 , 
und: 
«+ ß+y=y A , 
was zu beweisen war. 
Bei dreigliedrigen Ausdrücken kann man einfacher nach der Formel: 
а + 6 = У(« 2 + 2 aÄ-j-6 2 ) 
verfahren, d. h. die Grösse ist ein vollständiges Quadrat, wenn zwei Glieder voll 
ständige Quadrate mit positivem Zeichen, das dritte aber das doppelte Product 
beider ist, die Summe, bezüglich Differenz der Wurzeln beider Quadrate ist die 
gesuchte Wurzel der Grössen. 
Beispiel. 
У(9л; 4 + 12 ал: 3 4-4 а 2 л; 2 =3л; 2 + 2аа:. 
Es ist nämlich 9a: 1 das Quadrat von За: 2 , 4a 2 л: 2 das von 2ax, 12 ал; 3 aber 
das doppelte Product von 2ал: und 3 a: 2 . 
Geben wir noch ein Beispiel der Entwicklung einer Quadratwurzel einer nicht 
quadratischen Grösse in eine unendliche Reihe.