Quantität. 
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Quantität. 
fange, sie geht eben nur von einem 
völlig hestimmungslosen Dinge, Einheit 
genannt, aus; je mehr Eigenschaften 
oder Qualitäten man dagegen diesem 
als Einheit betrachteten Dinge gibt, je 
mehr entfernt man sich von mathema 
tischen Vorstellungen. So ist die Me 
chanik eine reiner mathematische Wissen 
schaft als die Astronomie, aus dem an 
geführten Grunde, diese mehr als die 
Statistik, deren Einheit der einzelne 
Mensch ist, ein höchst complicirtes Ding, 
von dessen Eigenschaften dabei nicht 
gänzlich abgesehen werden kann. 
Die reine Quantitäts- oder Zahlenlehre 
hat es mit allen möglichen Operationen zu 
thun, die mit der Einheit oder der aus ihr 
entstehenden Zahlengrösse vorgenommen 
werden können, ohne zu fragen, inwieweit 
diese Operationen in der Anwendung zur 
wirklichen Erscheinung kommen, also in 
der Uebertragung auf dieBegriffe, von wel 
chen die Einheit abstrahirt ist, auch wirk 
lichen Dingen entsprechen. In der That 
kann die Qualität eines Dinges auch da 
rin bestehen, dass bei ihm gewisse Eigen 
schaften nicht real werden, die der Zahl 
im Allgemeinen anhaften. 
Man kennt z. B. in der Zahlenlehre 
die Operation der Thcilung der Einheit. 
Spricht man nun z. B. von Bevölke 
rungsmengen , deren Einheit das Indi 
viduum äst, so ist hier eine Thcilung 
unmöglich, weil die Qualität eines In 
dividuums eben zum Theil in der Un- 
theilbarkeit besteht. 
Andere Grössen sind wieder der Ver 
vielfältigung unzugänglich ; z. B. in der 
Wahrscheinlichkeitslehre ist die Einheit 
der Ausdruck für die Gewissheit, und 
jeder Theil der Einheit entspricht einer 
bestimmten Wahrscheinlichkeit (vergleiche 
den Artikel: Wahrscheinlichkeit), es ist 
also ein Vervielfältigen der Einheit un 
möglich, da eine Wahrscheinlichkeit 
doch nie die Gewissheit übertreffen kann. 
Die Zahlcnlehre setzt ferner der posi 
tiven Zahl die negative gegenüber. Ne 
gative Grössen einer gewissen Art kom 
men oft zur wirklichen Erscheinung, z. 
B. hei Zeitgrössen, wo man von einer 
bestimmten Zeit ausgeht, z. B. von der 
Geburt Christi in der Chronologie; die 
Jahre nach Christi Geburt sind positive 
Grössen, die vorhergehenden negative. 
Dies tritt überall ein, wo der Anfangs 
punkt oder Nullpunkt der Rechnung ein 
willkürlicher ist, und die Grösse sich 
nach zwei Richtungen von ihm aus ins 
Unendliche erstreckt. In der Geometrie 
handelt es sich auch bekanntlich in ge 
wissem Sinne um negative Grössen, je 
doch ist dies in andern geometrischen 
Betrachtungen wieder nicht der Fall. 
Die Untersuchung, in wiefern und unter 
welchen Voraussetzungen Raumgrössen 
negativ werden, wird jedoch erst später 
gegeben werden können. 
Bei andern Grössen, man denke z. B. 
au die Statistik, kommt überhaupt das 
Negative nicht zum Erscheinen. Man 
muss aber hierbei nicht in den Irrthum 
verfallen, dass, wenn z. B. die Mathe 
matik auf letztere Wissenschaft angewen 
det wird, das Negative und der Bruch 
gar nicht angewendet werden dürfe. 
Denn so lange man in rein mathema 
tischen Betrachtungen verweilt, ist dies 
sehr wohl möglich, nur das letzte Re 
sultat der Rechnung, womit man wieder 
in die betrachtete Disciplin zurücktritt, 
schliesst natürlich solche Quantitäten aus, 
die derselben abgehen. Man kann Be 
völkerungsmengen , wenn sie einmal in 
Rechnung gebracht sind, natürlich thei- 
len, andere von ihnen abziehen, d. h. 
Negatives damit vereinen und so fort, 
aber das Resultat soll schliesslich kein 
Bruch, und auch nicht negativ sein. Im 
entgegengesetzten Falle würde es auf 
etwas Unmögliches hindeuten. 
Ein höchst wichtiger Theil der reinen 
Zahlenlehre, die Theorie des Imaginären, 
kommt sogar in keiner Anwendung zur 
wirklichen Erscheinung. Diese_Theorie 
vermittelt aber nichts destoweniger die 
gegebenen Daten mit dem Resultat. 
Das Imaginäre kann sich während 
der Rechnung einstellen, und am Schluss 
muss es wieder verschwinden, wenn nicht 
eben durch dessen Verbleiben ange 
deutet wird, dass das Resultat ein un 
mögliches oder nicht vorhandenes sei. 
Wir geben hier die Zahlenlehre oder die 
Lehre von den reinen Quantitäten in ihren 
einfachsten Elementen. Die Anwendun 
gen auf Geometrie und Mechanik sind in 
den entsprechenden Artikeln zu suchen. 
Quantität (reine oder Zahl). 
1) Einheit, Null, ganze Zahl, 
Ad di ti o n. 
Die Zahlenlehre geht von dem Begriffe 
der Einheit aus. Dieselbe wird definirt, 
als irgend ein Ding, von dessen Eigen 
schaften man vollständig abstrahirt. Sie 
ist also gänzlich bestimmungslos, und 
jeder Begriff ist unter dem der Einheit 
enthalten, mithin selbstverständlich auch 
diejenigen, auf welche man im Verlauf 
unserer Betrachtungen gelangen wird. 
Die Einheit bezeichnen wir durch das 
Zeichen 1, und wir können von ihr zu 
nächst weiter nichts aussagen, als dass 
sie entweder vorhanden ist oder nicht.