Quantität. 624 Quantität, 
Das Nichtvorhandensein der Einheit 
wird durch das Zeichen 0 (Null) ange 
deutet. Auf irgend eine Weise wird die 
Einheit entstehen, oder aus der Null 
hervorgehen; sie ist mithin, und dies ist 
ja das Wesen eines jeden Begriffes, das 
Resultat einer Thätigkeit. Auch diese 
Thätigkeit wird völlig hestimmungslos 
sein, da ja ihr Resultat ein bestimmungs- 
loses ist; wir bezeichnen sie durch den 
Ausdruck: addiren, und durch das Zei 
chen + (plus). Die Formel: 
0 + 1 = 1 
deutet also an, dass durch die Thätig 
keit des Addirens die Eins aus der Null 
entsteht. 
Es kann nun aber diese Thätigkeit 
wiederholt werden, d. h. man kann bil 
den 1 + 1, einen Ausdruck, für dessen 
Resultat wir das Zeichen 2 nehmen. 
Man hat also 1 + 1 = 2, und wenn man 
so fortfährt: 
2+1 = 3, 3+1 = 4, 4+1 = 5 . . . 
Hier sagt man, man habe 1 bezüglich 
zu 2, 3, 4 addirt. 
Dieser Prozess des Addirens in der 
Gedankenthätigkcit kann unendlich oft 
wiederholt werden. Er würde nur dann 
eine Grenze haben, wenn man statt der 
bestimmungslosen Einheit von irgend 
einem näher definirten Begriffe ausgeht, 
also in gewissen Anwendungen. 
Wir erhalten also unendlich viel neue 
Formen, die wir als ganze positive Zah 
len, oder kurz als Zahlen bezeichnen. 
1) „Ganze positive Zahlen entstehen 
aus der Addition oder Zusammenfügung 
von Einheiten.“ 
Die Addition wird nämlich gewöhnlich 
als ein Zusammenfügen aufgefasst, und 
man kann dies thun, wenn man erst die 
Einheit entstehen lässt, dann diesen Pro 
zess wiederholt u. s. f.; es sind dann 
die Einheiten zusammengefügt oder zu 
einander addirt. Indessen ist die zuerst 
gegebene Definition der Addition, wie 
wir gleich sehen werden, die allge 
meinere : 
„Man kann jetzt auch beliebige Zah 
len addiren, denn da nach dem Obigen 
jede Zahl als Einheit aufgefasst wird, 
so kann man jede derselben auch aus 
der Null entstehen lassen.“ 
Es ist also z. B. 5 +• 3 definirt durch 
die Thätigkeiten: 
5 + 1 = 6, 6+l = 5 + l + l = 7, 
7+1 = 5+1+ 1+1 = 8. 
Ebenso können mehrere Zahlen addirt 
werden, indem man erst zwei zusammen 
fügt, dann die dritte damit verbindet 
u. s. f. 
„Zahlen, welche addirt werden, heissen 
Glieder oder Posten, das Resultat der 
Addition bezeichnet man als Summe.“ 
Jedes der Glieder besteht aus einer 
Zusammenfügung oder Anzahl von Ein 
heiten , und die Gesammtzahl der Ein 
heiten aller Posten bestimmt den Aus 
druck der Summe. Es ist also z. B.: 
5+3 = l+l + l + l + l + l + l + l = 8, 
und: 
3+5 = l + l + l + l + l + l+l + l = 8. 
Es kommt also auf die Ordnung, in der 
die Einheiten entstanden, nicht an, und 
man hat den Hauptsatz der Addition: 
I. „Man kann beim Addiren die 
Ordnung der Glieder beliebig ver 
tauschen.“ 
rt+i + c= «+c+A= h + c+a . . . 
Hier bedeuten a, b, c beliebige Zahlen. 
Wie immer in der Zahlenlehre bedie 
nen wir uns der Buchstaben, um diese 
Willkürlichkeit auszudrücken. Diese 
Ausdrucksweise ist sehr wichtig für diese 
Wissenschaft, weil sie gestattet, zufällige, 
also einzelnen Zahlen ungehörige, und 
allgemeine Eigenschaften aus einander 
zu halten, und dies in aller Kürze an 
zudeuten. 
Es ist ausserdem in dem Obigen noch 
eine zweite Bezeichnung enthalten. Be 
trachten wir den Ausdruck: 
5+3 = 8, 
so bedeutet das Gleichheitszeichen =, 
dass die rechts und links geschriebenen 
Formen identisch sind. Als wir nämlich 
die Bezeichnung 2 für 1 + 1, 3 für 2+1 
einführten, gelangten wir bereits dazu, 
für dasselbe Resultat zwei verschiedene 
Formen zu haben. 
„Die Verbindung von solchen Formen 
mit der Andeutung ihrer Identität durch 
das Gleichheitszeichen nennen wir Glei 
chung,“ 
und wir haben für die Gleichungen be 
reits den wichtigen und selbstverständ 
lichen Satz: 
II. „Wenn man mit beiden (iden 
tischen) Seiten einer Gleichung dasselbe 
vornimmt, so erhält man wieder Iden 
tisches auf beiden Seiten.“ 
Als Beispiel nehmen wir die Addition, 
da sich auf diese allein jetzt unsere 
Kenntniss beschränkt. 
Es sei: 
a + b = c, 
so ist auch: