Quantität. 
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Quantität. 
Aus diesem Satze folgt leicht der fol 
gende nicht weniger wichtige: 
II. „Wenn zwei Zahlen mit einander 
multiplicirt werden, so kann man Multi 
plicator und Multiplicandus vertauschen, 
ohne dass sich das Product ändert.“ 
Also: 
a • b = b-a, oder 4 • 3 = 3 • 4 = 12. 
Es ist nämlich: 
4-3=4-(1 + 1+1), 
und indem man den vorigen Satz an 
wendet : 
4*3 = 4-f-4+4 = 3*4. 
Man kann aber auch mehr als zwei Zah 
len mit einander multipliciren. Man ver 
steht nämlich z. B. unter dem Producte: 
4*3*7 den Ansdruck 4 mit 3 • 7 oder 
21 multiplicirt, also 4*3*7 = 84. Nach 
dem vorigen Satze ist hiernach: 
4* 3*7 = 4*7 *3. 
Es ist aber auch: 
4 • 3 • 7 = 3 • 4 • 7. 
Denn : 
4*3*7 = 4(7 + 7 + 7) = 4*7 + 4*7+4*7 
= 3*4* 7. 
Man kann auch für beliebig viel zu mul- 
tiplicirende Zahlen leicht dasselbe zeigen, 
und hat also den Satz: 
III. ,, Beim Multipliciren kommt es 
auf die Ordnung der zu multiplicirenden 
Zahlen nicht an. “ 
Die letzteren, welche sich also in Be 
zug auf das Product ganz gleich verhal 
ten, werden mit dem gemeinschaftlichen 
Namen Factoren benannt. 
Seien jetzt zwei mehrgliedrige Aus 
drücke mit einander zu multipliciren, 
also : 
(rt + 6-{-c) (d+e+f). 
Durch Anwendung des Satzes I. erhält 
man: 
{a-\-b + c) d-{- (a + 6 + c) e 
+ (ri-j-i + c)/'+ . . ., 
und wenn man Satz II. anwendet, also 
beide Factoren vertauscht, ergibt sich: 
d (« -f- b + c) -j- e {a + b + c)+f (a + b 4- c), 
und mit abermaliger Anwendung des 
Satzes I.: 
(ff -f- b + c) {d +• e + f ) ~ da + db + de 
+ eff + e6-f- ec-\-fa-\-fb-\-fc, 
d. h.: 
„Ein mehrgliedriger Ausdruck wird 
mit einem ebensolchen multiplicirt, in 
dem man jedes Glied des einen Factors 
mit jedem des andern multiplicirt, und 
alle Theilproducte addirt.“ 
Mit Bezug auf die Sätze 1) und 2) 
machen wir noch eine für die Methode, 
deren sich die Mathematik bedient, wich 
tige Bemerkung. — Das Resultat dieser 
Sätze lässt sich als Gleichung angeben, 
und da eine solche in einer völligen Iden 
tität der Ausdrücke auf beiden Seiten 
des Gleichheitszeichens besteht, so lassen 
sich nicht allein solche Anwendungen 
machen, wo die linke Seite in die rechte 
verwandelt wird, sondern auch umge 
kehrt. Sei z. B. gegeben der Ausdruck: 
4a • ¿+2« • c-f-6« • d, 
so sind, wenn man 4« = 2 • n • 2, 
6*ff = 2ff*3 schreibt, sämmtliche Glieder 
mit 2 a multiplicirt, und mit Anwendung 
des Satzes I. kann man dafür schreiben: 
2 a (2 b 4- c 3 d). 
In der That würde man durch Anwen 
dung dieses Satzes von dem letzteren 
Ausdrucke wieder zu dem ursprünglich 
gegebenen gelangen. 
Man hat hier also eine Summe von 
Theilproducten in das Product einerSumme 
und einer Zahl verwandelt, indem man 
erstere innerhalb einer Klammer schreibt. 
Man pflegt dies so auszudrücken: „der 
Ausdruck 2 a sei aus einer Klammer 
herausgezogen worden.“ 
Wie aus der Addition die Multipli 
cation, so entsteht aus dem Multipliciren 
das Potenziren. Es sei nämlich: 
1 • « = o = a 1 , 1 • a • a —a 2 , 1 • a• a*a = a* 
u. s. w. 
Die oben geschriebene Zahl 1, 2,3 
deutet an, wie oft a mit sich selbst, oder 
genauer genommen mit der Einheit mul 
tiplicirt sei. Die Zahlen « l , a 2 , a 3 . . . 
a n heissen 1, 2, 3 . . , nte Potenz von 
a; also: 
„Eine Zahl « zur nten Potenz erhe 
ben, heisst, sie wmal mit der Einheit 
multipliciren.“ 
Die Zahl n, welche die Wiederholung 
der Thätigkeit des Multiplicirens anzeigt, 
wird Exponent genannt, die zu poten- 
zirende Zahl a heisst Basis, das Resul 
tat des Potenzirens, also a n , wird Po 
tenz genannt. Man sieht sogleich, dass 
die Potenz immer eine ganze Zahl sein 
wird, wenn a und n ganze Zahlen sind. 
Auch ist die Bedeutung des Zeichens a° 
klar, denn da a n anzeigt, dass 1 n mal 
mit « multiplicirt ist, so wird a° sagen, 
dass 1 gar nicht mit einer andern Zahl