Quantität. 
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Quantität. 
multiplicirt sei, also unverändert bleibt; 
es ist also a° ~ 1, was auch a sei. 
Wird die Einheit «mal, dann pmal 
u. s. w. mit a multiplicirt, so hat man 
sie im Ganzen n + pmal multiplicirt; d. h. 
in einer Formel: 
a n -aP . . . =a n +P+ ' ‘ ‘ 
oder in Worten: 
V. „Potenzen derselben Basis werden 
multiplicirt, indem man die Exponenten 
addirt.“ 
Geht man von der Formel: 
n + p + q 7i p q 
a r 3 —a a l er 
aus. und setzt n — p — q, so hat man links 
a' H , rechts a 1 • a n • a n , d. h, die dritte 
Potenz von a n oder («”)*, wo die Klam 
mer ihrer allgemeinen Bedeutung nach 
anzeigt, dass erst n l berechnet, und 
dann hiervon wieder die dritte Potenz 
gebildet werden soll. Man hat also: 
oder da die Zahl 3 ganz willkürlich ge 
wählt war und von jeder dasselbe gilt: 
(a n )P = a pn , 
d. h. in Worten: 
VI. „Eine Potenz wird zu einer an 
dern Potenz erhoben, indem man beide 
Exponenten mit einander multiplicirt.“ 
Seien jetzt gleiche Exponenten, aber 
ungleiche Basen gegeben. 
(iabc) 3 = abc ahe abc, 
oder da die Ordnung der Factorcn will 
kürlich ist: 
{abc) 3 — aaabbb ccc = a 3 b 3 c 3 . 
Die Anzahl der Factoren abc und der 
Exponent 3 ist willkürlich gegeben, also: 
, , s 1l 11,71 71 
{abc . , —a b c . . 
d. h. in Worten: 
VII. „Ein Product wird zu einer Po 
tenz erhoben, indem man jeden Factor 
zu derselben Potenz erhebt, und das 
Product dieser Potenzen bildet.“ 
Addiren, Multipliciren,Potenziren nennt 
man auch „directe Operationen“. 
Man sieht, keine derselben bringt an 
sich eine andere Form als die ganze 
positive Zahl hervor. Auch könnte man, 
indem man das Potenziren wiederholt, 
eine neue und immer neue Operationen 
entstehen lassen. Wie leicht zu sehen, 
würde dies jedoch keinen sonderlichen 
Nutzen gewähren; auch wäre die Bedeu 
tung der neuen Operationen nicht ganz 
die der gegebenen. 
Ein wesentlicher Unterschied stellt sich 
nämlich beim Potenziren gegen das Ad 
diren und Multipliciren heraus. Wäh 
rend nämlich bei diesen beiden Opera 
tionen mit Posten und Factoren operirt 
wurde, Grössen, welche sich nach gege 
benen Sätzen beliebig mit einander ver 
tauschen lassen, wird beim Potenziren 
mit der Basis und dem Exponenten ope 
rirt, Grössen, die durchaus nicht ver 
tauscht werden können, ohne das Resul 
tat zu ändern. Diese Eigenschaft der 
Potenzen namentlich ist die Ursache, dass 
man bei der Wiederholung des Poten- 
zirens nicht etwas ähnliches wie n gleiche 
Posten oder n gleiche Factoren hat. 
Man begnügt sich daher mit diesen drei 
directen Operationen und schliesst an 
dieselben die indirecten an, welche zu 
neuen Zahlformen führen, 
3) Bedeutung der indirecten 
Operationen. Vom Subtrahiren 
und von den negativen Zahlen. 
Einer jeden Thätigkeit, die von irgend 
einem Ausgangspunkte zu einem Resul 
tate führt, können wir entgegenstellen 
die entgegengesetzte oder „negative“ 
Thätigkeit, welche von diesem Resultate 
zum Ausgangspunkt wieder zurückführt. 
D. h.: Wird eine Zahl a irgend einer 
Thätigkeit unterworfen, welche zu einer 
andern Zahl b führt, und man unter 
wirft diese der entsprechenden negativen 
Thätigkeit, so muss diese zu a zurück 
führen. 
Dem Addiren stellen wir entgegen die 
negative Thätigkeit des Subtrahirens oder 
Abziehens. Also da 4+5 = 9 ist, so 
muss 4 von 9 abgezogen wieder 5 geben 
nach der Erklärung. 
Das Zeichen der Subtraction ist — 
(gelesen minus), und wir schreiben: 
9-4=5. 
Allgemein: 
„Ist a+b~c, so ist auch c—b = a. 11 
Es folgt aber aus dem blossen Begriffe 
der negativen Operation, „dass Addiren 
und Subtrahiren sich aufheben“. 
Z. B.: 
5 + 4_4 = 5, 
aber auch: 
5—4+4=5, 
da in beiden Fällen von der 5 zu einer 
andern Zahl übergegangen, von dieser 
aber zur 5 zurückgegangen ist. 
Es ist also auch: 
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