Quantität. 
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Quantität. 
erhält man eine ganze Zahl 10; es ist 
aber leicht zu sehen, dass sich nur hei 
solchen Divisionen ganze Zahlen ergeben. 
Dennoch hat in der Rechnung, worin 
ein Bruch “ verkommt, dessen Zähler 
b 
also etwa 1 ist, immer einen Sinn. Denn 
da der Einheit beliebige Bestimmungen 
gegeben werden können, so kann ihr in 
irgend einem Falle diejenige gegeben 
werden, ein Vielfaches von b zu sein. 
An sich kommt dem Bruche —, was 
o 
auch b sei, dann eine Realität zu, wenn 
die Grössen, mit welchen man rechnet, 
einer neuen Bestimmung der Theilung 
bis ins Unendliche oder der Continuität 
theilhaftig sind. Ist nämlich die Einheit 
nichts Bestimmtes, sich von selbst Dar- 
hietendes, sondern lässt sich die Art 
ihrer Entstehung als Wiederholung eines 
andern Prozesses auffassen, so dass man 
eine andere Einheit wählen kann, von 
der sie ein Vielfaches bildet, so wird 
diese neue Einheit natürlich mit -r- be- 
b 
zeichnet werden, wenn die alte das b fache 
davon ist, und -i- ist ein Theil der Ein- 
heit b • 
1 
b 
1. 
Lässt sich diese Thei- 
hing ins Unendliche verfolgen, so schrei 
ben wir eben der behandelten Art der 
Grösse Continuität zu. Raum- und Zeit 
grössen sind continuirlich, Volksmengen 
z. B. nicht, da hier die Einheit untheil- 
har ist. 
Der Ausdruck ist definirt durch 
o 
die Gleichung: 
Wie man 4 1 - den ftten Theil von 1 
b 
nannte, so kann mau — den ¿ten Theil 
b 
von a nennen. Dabei kann dieser Aus 
druck wieder eine ganze Zahl geben, z. B. 
20 
— = 4, oder einen wir klichen Bru'ch, 
o 
als welchen wir jedes nicht ganze Viel 
fache von -y-, wo b eine ganze Zahl 
b 
ist, verstehen, a heisst Zähler, b Nen 
ner. Summen von Brüchen bedürfen 
keiner Definition, da man die Grössen 
y-, — . immer vereinen kann. Der 
6 d 
Satz, dass: n{a-\-b-\- . . ,') = na+nb-f- ., . 
sei, ist noch dann richtig, wenn a, b . . . 
Brüche, n aber eine ganze Zahl ist, da 
die oben gemachten Schlüsse hier noch 
anwendbar sind. Hieraus ergibt sich 
auch leicht der Werth von «•—. 
b 
Sei z. B.: 
so ist: 
ci — 3, 
b b b~h 
Dieser Ausdruck b mal genommen, gibt: 
-+ b • ——h b • — = 3 oder a, 
es ist also: 
und also nach der Definition a ■ 
-?• identisch. 
mit 
Der Zähler eines Bruches kann auch 
negativ sein, denn auch die negative 
Einheit kann ja getheilt werden. Offen 
bar aber ist: 
( a —a\ 
T + TV 
b = a—a=0, 
also auch: 
da aber a 
a —a n 
t + T= 0, 
—a • -i- gleich Null 
b b 
ist, 
nach der Erklärung der Multiplication 
mit negativen Zahlen, so hat man; 
Aus diesen Betrachtungen folgt leicht 
die Addition der Brüche, welche gleiche 
Nenner haben, 
, a 1 , b , 1 
Da nämlich — = a • — und — = 0 • — 
c c c c 
ist, so kann man sich —als Einheit von 
c 
a und b denken, wie dies die Multipli 
cation erfordert, und setzen: 
-l + A = ( a +Ä) 
c — c — 
1 (t -j- b 
c c 
I. „Brüche mit gleichem Nenner wer 
den addirt oder subtrahirt, indem man 
ihre Zähler addirt, bezüglich subtrahirt, 
und das Resultat mit dem gemeinschaft 
lichen Nenner verbindet.“